Derivata cosinusului se găsește prin analogie cu derivata sinusului, baza demonstrației este definirea limitei funcției. Puteți folosi o altă metodă, folosind formulele de reducere trigonometrice pentru cosinusul și sinusul unghiurilor. Exprimați o funcție în termenii unei alte - cosinus în termeni de sinus și diferențiați sinusul cu un argument complex.
Luați în considerare primul exemplu de derivare a formulei (Cos(x))'
Dați un increment neglijabil de mic Δx argumentului x al funcției y=Cos(x). Cu o nouă valoare a argumentului х+Δх, obținem o nouă valoare a funcției Cos(х+Δх). Apoi incrementul funcției Δy va fi egal cu Cos(х+Δx)-Cos(x).
Raportul incrementului funcției la Δх va fi: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Să efectuăm transformări identice în numărătorul fracției rezultate. Amintiți-vă formula pentru diferența cosinusurilor unghiurilor, rezultatul va fi produsul -2Sin (Δx / 2) ori Sin (x + Δx / 2). Găsim limita coeficientului lim al acestui produs pe Δx deoarece Δx tinde spre zero. Se știe că primul(se numește minunat) limita lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) este egală cu 1, iar limita -Sin(x+Δx/2) este egală cu -Sin(x) ca Δx tinde spre zero. Notați rezultatul: derivata lui (Cos(x))' este egală cu - Sin(x).
Unii oameni preferă a doua modalitate de a obține aceeași formulă
Se știe din cursul trigonometriei: Cos(x) este egal cu Sin(0, 5 ∏-x), în mod similar Sin(x) este egal cu Cos(0, 5 ∏-x). Apoi diferențiem o funcție complexă - sinusul unghiului suplimentar (în locul cosinusului x).
Se obține produsul Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', deoarece derivata sinusului x este egală cu cosinusul X. Ne întoarcem la a doua formulă Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) de înlocuire a cosinusului cu sinus, ținând cont de faptul că (0,5 ∏-x)’=-1. Acum obținem -Sin(x). Deci, se găsește derivata cosinusului, y'=-Sin(x) pentru funcția y=Cos(x).
Derivată de cosinus pătrat
Un exemplu folosit în mod obișnuit în care este folosită derivata cosinus. Funcția y=Cos2(x) este grea. Mai întâi găsim diferența funcției de putere cu exponentul 2, aceasta va fi 2·Cos(x), apoi o înmulțim cu derivata (Cos(x))', care este egală cu -Sin(x). Se obține y'=-2 Cos(x) Sin(x). Când aplicăm formula Sin(2x), sinusul unui unghi dublu, obținem finalul simplificatrăspuns y'=-Sin(2x)
Funcții hiperbolice
Sunt folosite în studiul multor discipline tehnice: în matematică, de exemplu, facilitează calculul integralelor, rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Ele sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice cu imaginarargument, deci cosinusul hiperbolic ch(x)=Cos(i x), unde i este unitatea imaginară, sinusul hiperbolic sh(x)=Sin(i x).
Derivata cosinusului hiperbolic este calculată destul de simplu.
Luați în considerare funcția y=(ex+e-x) /2, acesta și este cosinusul hiperbolic ch(x). Folosim regula pentru a afla derivata sumei a doua expresii, regula pentru a scoate factorul constant (Const) din semnul derivatei. Al doilea termen 0,5 e-x este o funcție complexă (derivata sa este -0,5 e-x), 0,5 eх ― primul termen. (ch(x)) „=((ex+e-x)/2)” poate fi scris într-un alt mod: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, deoarece derivatul (e - x)' este egal cu -1 ori e-x. Rezultatul este o diferență, iar acesta este sinusul hiperbolic sh(x).Ieșire: (ch(x))’=sh(x).
Să ne uităm la un exemplu despre cum să calculați derivata funcției y=ch(x
3+1).Conform regulii de diferențiere a cosinusului hiperbolic cu argument complex y'=sh(x
3+1) (x 3+1)”, unde (x3+1)”=3 x 2+0. Răspuns: derivata acestei funcții este 3 x
2sh(x3+1).
Derivate tabelare ale funcțiilor considerate y=ch(x) și y=Cos(x)
La rezolvarea exemplelor, nu este nevoie să le diferențiem de fiecare dată conform schemei propuse, este suficient să folosiți inferența.
Exemplu. Diferențiază funcția y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Ușor de calculat (utilizați date tabelare), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
