Patrulaterul înscris într-un cerc. Patrulaterul ABCD este înscris într-un cerc

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Odată cu împărțirea matematicii în algebră și geometrie, materialul educațional devine mai dificil. Apar figuri noi și cazurile lor speciale. Pentru a înțelege bine materialul, este necesar să se studieze conceptele, proprietățile obiectelor și teoremele aferente.

Concepte generale

Un patrulater înseamnă o figură geometrică. Este format din 4 puncte. Mai mult, 3 dintre ele nu sunt situate pe aceeași linie dreaptă. Există segmente care conectează punctele specificate în serie.

Toate patrulaterele studiate la cursul de geometrie a școlii sunt prezentate în diagrama următoare. Concluzie: orice obiect din figura prezentată are proprietățile figurii anterioare.

Un patrulater poate fi de următoarele tipuri:

Paralelogram. Paralelismul laturilor sale opuse este dovedit prin teoremele corespunzătoare.
Trapez. Un patrulater cu baze paralele. Celel alte două părți nu sunt.
Dreptunghi. O figură care are toate cele 4 colțuri=90º.
Romb. O figură cu toate laturile egale.
Pătrat. Combină proprietățile ultimelor două figuri. Are toate laturile egale și toate unghiurile sunt drepte.

Definiția principală a acestui subiect este un patrulater înscris într-un cerc. Constă în următoarele. Aceasta este o figură în jurul căreia este descris un cerc. Trebuie să treacă prin toate vârfurile. Unghiurile interioare ale unui patrulater înscris într-un cerc se adună până la 360º.

Nu orice patrulater poate fi înscris. Acest lucru se datorează faptului că bisectoarele perpendiculare ale celor 4 laturi nu se pot intersecta într-un punct. Acest lucru va face imposibilă găsirea centrului unui cerc care circumscrie un 4-gon.

Cazuri speciale

Există excepții de la fiecare regulă. Deci, în acest subiect există și cazuri speciale:

Un paralelogram, ca atare, nu poate fi înscris într-un cerc. Doar cazul lui special. Este un dreptunghi.
Dacă toate vârfurile unui romb sunt pe linia de circumscripție, atunci este un pătrat.
Toate vârfurile trapezului se află la limita cercului. În acest caz, ei vorbesc despre o figură isoscelă.

Proprietățile unui patrulater înscris într-un cerc

Înainte de a rezolva probleme simple și complexe pe un anumit subiect, trebuie să vă verificați cunoștințele. Fără studierea materialului educațional, este imposibil să rezolvi un singur exemplu.

Teorema 1

Suma unghiurilor opuse ale unui patrulater înscris într-un cerc este de 180º.

proprietățile unui patrulater înscris într-un cerc

Dovada

Dat: patrulaterul ABCD este înscris într-un cerc. Centrul său este punctul O. Trebuie să demonstrăm că _<A + _<C=180º și _< B + _<D=180º.

Trebuie să luați în considerare cifrele prezentate.

_{<A este înscris într-un cerc centrat în punctul O. Se măsoară prin ½ BCD (jumătate de arc).}

_{<C este înscris în același cerc. Se măsoară prin ½ BAD (jumătate de arc).}
BAD și BCD formează un cerc întreg, adică magnitudinea lor este de 360º.

_<A + _{<C sunt egale cu jumătate din suma semiarcelor reprezentate.}

De aici _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

unghiurile unui patrulater înscris într-un cerc

În mod similar, dovada pentru _<B și _{<D. Cu toate acestea, există o a doua soluție la problemă.}

Se știe că suma unghiurilor interioare ale unui patrulater este de 360º.

Pentru că _<A + _<C=180º. În consecință, _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Teorema 2

(Se numește adesea invers) Dacă într-un patrulater _<A + _<C=180º și _{<B +} <_{D=180º (dacă sunt opuse), atunci se poate descrie un cerc în jurul unei astfel de figuri.}

Dovada

Se dă suma unghiurilor opuse ale patrulaterului ABCD egală cu 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Trebuie să demonstrăm că un cerc poate fi circumscris în jurul ABCD.}

Din cursul de geometrie se știe că un cerc poate fi trasat prin 3 puncte ale unui patrulater. De exemplu, puteți folosi punctele A, B, C. Unde va fi situat punctul D? Există 3 presupuneri:

Ea ajunge în cerc. În acest caz, D nu atinge linia.
În afara cercului. Ea trece mult dincolo de linia conturată.
Se dovedește într-un cerc.

Ar trebui să presupunem că D este în interiorul cercului. Locul vârfului indicat este ocupat de D´. Se dovedește patrulater ABCD´.

Rezultatul este:_<B + _<D´=2d.

Dacă continuăm AD´ până la intersecția cu cercul existent centrat în punctul E și conectăm E și C, obținem un patrulater înscris ABCE. Din prima teoremă rezultă egalitatea:

Conform legilor geometriei, expresia nu este valabilă deoarece _<D´ este colțul exterior al triunghiului CD´E. În consecință, ar trebui să fie mai mare de _{<E. Din aceasta putem concluziona că D trebuie să fie fie în cerc, fie în afara lui.}

În mod similar, a treia presupunere poate fi dovedită greșită atunci când D´´ depășește limita figurii descrise.

Din două ipoteze urmează singura corectă. Vârful D este situat pe linia cercului. Cu alte cuvinte, D coincide cu E. Rezultă că toate punctele patrulaterului sunt situate pe linia descrisă.

Din acesteadouă teoreme, urmează corolarele:

Orice dreptunghi poate fi înscris într-un cerc. Există o altă consecință. Un cerc poate fi circumscris în jurul oricărui dreptunghi

Trapezul cu șoldurile egale poate fi înscris într-un cerc. Cu alte cuvinte, sună astfel: un cerc poate fi descris în jurul unui trapez cu margini egale

Câteva exemple

Problema 1. Cadrilaterul ABCD este înscris într-un cerc. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Trebuie să găsiți _{<ABD. Răspunsul trebuie scris în grade.}

Decizie. La început, poate părea dificil să găsești răspunsul.

1. Trebuie să vă amintiți proprietățile din acest subiect. Și anume: suma unghiurilor opuse=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

În geometrie, este mai bine să rămâi la principiul: găsește tot ce poți. Util mai târziu.

2. Următorul pas: utilizați teorema sumei triunghiulare.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º 75º=70º}

Sunt înscrise

_<ABD și _{<ACD. După condiție, se bazează pe un arc. În consecință, au valori egale:}

_<ABD=_<ACD=70º

Răspuns: _<ABD=70º.

Problema 2. BCDE este un patrulater înscris într-un cerc. _<B=69º, _<C=84º. Centrul cercului este punctul E. Găsiți - _<E.

patrulaterul ABCD este înscris într-un cerc

Decizie.

Trebuie să găsiți _{<E după teorema 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Răspuns: _{< E=96º.}

Problema 3. Având în vedere un patrulater înscris într-un cerc. Datele sunt prezentate în figură. Este necesar să găsiți valori necunoscute x, y, z.

Soluție:

z=180º – 93º=87º (prin teorema 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (prin teorema 1)

Răspuns: z=87º, x=82º, y=98º.

Problema 4. Există un patrulater înscris într-un cerc. Valorile sunt prezentate în figură. Găsiți x, y.

Soluție:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Răspuns: x=100º, y=109º.

Probleme pentru soluția independentă

Exemplu 1. Dat un cerc. Centrul său este punctul O. AC și BD sunt diametre. _<ACB=38º. Trebuie să găsiți _{<AOD. Răspunsul trebuie dat în grade.}

Exemplu 2. Având în vedere un patrulater ABCD și un cerc circumscris în jurul lui. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Găsiți _{<CAD. Scrieți răspunsul în grade.}

Exemplu 3. Având în vedere un cerc și un patrulater înscris ABCD. Cele două unghiuri ale sale sunt de 82º și58º. Trebuie să găsiți cel mai mare dintre unghiurile rămase și să scrieți răspunsul în grade.

Exemplu 4. Este dat patrulaterul ABCD. Unghiurile A, B, C sunt date în raport 1:2:3. Este necesar să se afle unghiul D dacă patrulaterul specificat poate fi înscris într-un cerc. Răspunsul trebuie dat în grade.

Exemplu 5. Se dă patrulater ABCD. Laturile sale formează arce de cerc circumscris. Valorile gradelor AB, BC, CD și, respectiv, AD sunt: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Ar trebui să găsiți _{<Din patrulaterul dat și să scrieți răspunsul în grade.}