Georg Kantor (fotografia este dată mai târziu în articol) este un matematician german care a creat teoria mulțimilor și a introdus conceptul de numere transfinite, infinit de mari, dar diferite unele de altele. De asemenea, a definit numerele ordinale și cardinale și a creat aritmetica acestora.
Georg Kantor: scurtă biografie
Născut în Sankt Petersburg la 1845-03-03. Tatăl său era un danez de credință protestantă, Georg-Valdemar Kantor, care era angajat în comerț, inclusiv la bursă. Mama sa Maria Bem era catolică și provenea dintr-o familie de muzicieni de seamă. Când tatăl lui Georg s-a îmbolnăvit în 1856, familia sa mutat mai întâi la Wiesbaden și apoi la Frankfurt în căutarea unui climat mai blând. Talentele matematice ale băiatului au apărut chiar înainte de a împlini 15 ani, în timp ce studia la școlile private și la gimnaziile din Darmstadt și Wiesbaden. În cele din urmă, Georg Cantor și-a convins tatăl de intenția sa fermă de a deveni matematician, nu inginer.
După un scurt studiu la Universitatea din Zurich, în 1863, Kantor s-a transferat la Universitatea din Berlin pentru a studia fizica, filozofia și matematica. Acolo ela predat:
- Karl Theodor Weierstrass, a cărui specializare în analiză a avut probabil cea mai mare influență asupra lui Georg;
- Ernst Eduard Kummer, care a predat aritmetica superioară;
- Leopold Kronecker, teoreticianul numerelor care s-a opus ulterior lui Cantor.
După ce a petrecut un semestru la Universitatea din Göttingen în 1866, în anul următor, Georg și-a scris teza de doctorat intitulată „În matematică arta de a pune întrebări este mai valoroasă decât a rezolva probleme”, referitoare la o problemă pe care Carl Friedrich Gauss a avut-o. rămas nerezolvat în sa Disquisitiones Arithmeticae (1801). După ce a predat pentru scurt timp la Școala de Fete din Berlin, Kantor a început să lucreze la Universitatea din Halle, unde a rămas până la sfârșitul vieții, mai întâi ca profesor, din 1872 ca profesor asistent și din 1879 ca profesor.
Cercetare
La începutul unei serii de 10 lucrări din 1869 până în 1873, Georg Cantor s-a gândit la teoria numerelor. Lucrarea a reflectat pasiunea lui pentru subiect, studiile sale despre Gauss și influența lui Kronecker. La sugestia lui Heinrich Eduard Heine, colegul lui Cantor din Halle, care și-a recunoscut talentul matematic, a apelat la teoria serielor trigonometrice, în care a extins conceptul de numere reale.
Pe baza lucrării asupra funcției unei variabile complexe a matematicianului german Bernhard Riemann în 1854, în 1870 Kantor a arătat că o astfel de funcție poate fi reprezentată într-un singur mod - prin serii trigonometrice. Considerarea unui set de numere (puncte) carenu ar contrazice o astfel de concepție, l-a condus, în primul rând, în 1872, la definirea numerelor iraționale în termeni de secvențe convergente de numere raționale (fracții de numere întregi) și, în continuare, la începutul lucrării asupra lucrării vieții sale, a teoriei mulțimilor și a conceptului. de numere transfinite.
Teoria setului
Georg Cantor, a cărui teorie a mulțimilor își are originea în corespondența cu matematicianul Institutului Tehnic din Braunschweig Richard Dedekind, a fost prieten cu el încă din copilărie. Ei au ajuns la concluzia că mulțimile, fie că sunt finite sau infinite, sunt colecții de elemente (de exemplu, numere, {0, ±1, ±2… }) care au o anumită proprietate, păstrând în același timp individualitatea. Dar când Georg Cantor a folosit o corespondență unu-la-unu (de exemplu, {A, B, C} cu {1, 2, 3}) pentru a le studia caracteristicile, și-a dat seama rapid că ele diferă în ceea ce privește gradul de apartenență, chiar și dacă ar fi mulțimi infinite, adică mulțimi, o parte sau submulțime a cărora include tot atâtea obiecte cât ea însăși. Metoda lui a dat în curând rezultate uimitoare.
În 1873, Georg Cantor (matematician) a arătat că numerele raționale, deși infinite, sunt numărabile deoarece pot fi puse în corespondență unu-la-unu cu numerele naturale (adică 1, 2, 3 etc.). d.). El a arătat că mulțimea numerelor reale, formată din cele iraționale și raționale, este infinită și de nenumărat. Mai paradoxal, Cantor a demonstrat că mulțimea tuturor numerelor algebrice conține tot atâtea elemente câtcâte sunt mulțimea tuturor numerelor întregi și că numerele transcendentale, care nu sunt algebrice, care sunt o submulțime de numere iraționale, sunt nenumărabile și, prin urmare, numărul lor este mai mare decât numerele întregi și ar trebui să fie considerate infinite.
Oponenți și susținători
Dar lucrarea lui Kantor, în care a prezentat pentru prima dată aceste rezultate, nu a fost publicată în Krell, deoarece unul dintre recenzori, Kronecker, s-a opus vehement. Dar după intervenția lui Dedekind, a fost publicat în 1874 sub titlul „Despre proprietățile caracteristice ale tuturor numerelor algebrice reale.”
Știință și viață privată
În același an, în luna de miere cu soția sa Wally Gutman în Interlaken, Elveția, Kantor l-a întâlnit pe Dedekind, care a vorbit favorabil despre noua sa teorie. Salariul lui George era mic, dar cu banii tatălui său, care a murit în 1863, a construit o casă pentru soția și cei cinci copii. Multe dintre lucrările sale au fost publicate în Suedia în noua jurnală Acta Mathematica, editată și fondată de Gesta Mittag-Leffler, care a fost printre primii care au recunoscut talentul matematicianului german.
Conexiune cu metafizica
Teoria lui Cantor a devenit un subiect de studiu complet nou în ceea ce privește matematica infinitului (de exemplu, seria 1, 2, 3 etc. și mulțimi mai complexe), care depindea în mare măsură de corespondența unu-la-unu. Dezvoltarea de către Kantor a noi metode de punere în scenăîntrebările referitoare la continuitate și infinit, au dat cercetării sale un caracter ambiguu.
Când a susținut că numerele infinite există cu adevărat, a apelat la filozofia antică și medievală cu privire la infinitul actual și potențial, precum și la educația religioasă timpurie pe care i-au oferit-o părinții săi. În 1883, în cartea sa Foundations of General Set Theory, Kantor și-a combinat conceptul cu metafizica lui Platon.
Kronecker, care a susținut că numai numerele întregi „există” („Dumnezeu a creat numerele întregi, restul este opera omului”), timp de mulți ani și-a respins vehement raționamentul și a împiedicat numirea lui la Universitatea din Berlin.
Numere transfinite
În 1895-97. Georg Cantor și-a format pe deplin noțiunea de continuitate și infinit, inclusiv numere ordinale și cardinale infinite, în cea mai faimoasă lucrare a sa, publicată ca Contribuții la stabilirea teoriei numerelor transfinite (1915). Acest eseu conține conceptul său, la care a fost condus demonstrând că o mulțime infinită poate fi pusă într-o corespondență unu-la-unu cu una dintre submulțimile sale.
Sub cel mai mic număr cardinal transfinit, el se referea la cardinalitatea oricărei mulțimi care poate fi pusă în corespondență unu-la-unu cu numerele naturale. Cantor a numit-o aleph-null. Mulțimi mari transfinite sunt notate aleph-unu, aleph-două etc. El a dezvoltat în continuare aritmetica numerelor transfinite, care a fost analogă cu aritmetica finită. așa ela îmbogățit conceptul de infinit.
Opoziția cu care s-a confruntat și timpul necesar pentru ca ideile sale să fie pe deplin acceptate se datorează dificultății de a reevalua întrebarea antică despre ce este un număr. Cantor a arătat că setul de puncte de pe o dreaptă are o cardinalitate mai mare decât aleph-zero. Acest lucru a condus la binecunoscuta problemă a ipotezei continuumului - nu există numere cardinale între aleph-zero și puterea punctelor de pe linie. Această problemă în prima și a doua jumătate a secolului al XX-lea a stârnit un mare interes și a fost studiată de mulți matematicieni, printre care Kurt Gödel și Paul Cohen.
Depresie
Biografia lui Georg Kantor din 1884 a fost umbrită de boala sa mintală, dar a continuat să lucreze activ. În 1897 a contribuit la organizarea primului congres internațional de matematică la Zurich. Parțial pentru că i s-a opus Kronecker, el a simpatizat adesea cu tinerii aspiranți la matematicieni și a căutat să găsească o modalitate de a-i salva de hărțuirea profesorilor care se simțeau amenințați de idei noi.
Recunoaștere
La începutul secolului, munca sa a fost pe deplin recunoscută ca bază pentru teoria funcțiilor, analiză și topologie. În plus, cărțile lui Cantor Georg au servit ca un impuls pentru dezvoltarea ulterioară a școlilor intuiționiste și formaliste ale fundamentelor logice ale matematicii. Acest lucru a schimbat semnificativ sistemul de predare și este adesea asociat cu „noile matematice”.
În 1911, Kantor a fost printre cei invitațisărbătorirea a 500 de ani de la Universitatea St. Andrews din Scoția. A mers acolo în speranța de a-l întâlni pe Bertrand Russell, care, în lucrarea sa recent publicată Principia Mathematica, s-a referit în mod repetat la matematicianul german, dar acest lucru nu s-a întâmplat. Universitatea i-a acordat lui Kantor o diplomă onorifică, dar din cauza unei boli, acesta nu a putut accepta premiul în persoană.
Kantor s-a pensionat în 1913, a trăit în sărăcie și a murit de foame în timpul Primului Război Mondial. Sărbătorile în cinstea celei de-a 70 de ani de naștere în 1915 au fost anulate din cauza războiului, dar o mică ceremonie a avut loc la el acasă. A murit la 01.06.1918 la Halle, într-un spital de psihiatrie, unde și-a petrecut ultimii ani din viață.
Georg Kantor: biografie. Familie
Pe 9 august 1874, un matematician german s-a căsătorit cu Wally Gutmann. Cuplul a avut 4 fii si 2 fiice. Ultimul copil s-a născut în 1886 într-o casă nouă cumpărată de Kantor. Moștenirea tatălui său l-a ajutat să-și întrețină familia. Sănătatea lui Kantor a fost foarte afectată de moartea fiului său cel mai mic în 1899, iar depresia nu l-a părăsit de atunci.
