Tema „progresiune aritmetică” este studiată la cursul general de algebră în școlile din clasa a IX-a. Acest subiect este important pentru studiul aprofundat al matematicii seriilor de numere. În acest articol, ne vom familiariza cu progresia aritmetică, diferența acesteia, precum și cu sarcinile tipice cu care se pot confrunta școlari.
Conceptul de progresie algebrică
Progresia numerică este o succesiune de numere în care fiecare element ulterior poate fi obținut din cel anterior, dacă se aplică o lege matematică. Există două tipuri simple de progresie: geometrică și aritmetică, care se mai numește și algebrică. Să ne oprim asupra ei mai detaliat.
Să ne imaginăm un număr rațional, notăm-l prin simbolul a1, unde indicele indică numărul său ordinal din seria luată în considerare. Să adăugăm un alt număr la a1 , să-l notăm d. Apoi al doileaun element al unei serii poate fi reflectat după cum urmează: a2=a1+d. Acum adăugați din nou d, obținem: a3=a2+d. Continuând această operație matematică, puteți obține o serie întreagă de numere, care se vor numi progresie aritmetică.
După cum se poate înțelege din cele de mai sus, pentru a găsi al n-lea element al acestei secvențe, trebuie să utilizați formula: a =a1+ (n -1)d. Într-adevăr, înlocuind n=1 în expresie, obținem a1=a1, dacă n=2, atunci formula implică: a2=a1 + 1d și așa mai departe.
De exemplu, dacă diferența unei progresii aritmetice este 5 și a1=1, atunci aceasta înseamnă că seria numerică a tipului în cauză arată astfel: 1, 6, 11, 16, 21, … După cum puteți vedea, fiecare dintre termenii săi este mai mare decât cel anterior cu 5.
Formule pentru diferența de progresie aritmetică
Din definiția de mai sus a seriei de numere luate în considerare, rezultă că pentru a o determina, trebuie să cunoașteți două numere: a1 și d. Aceasta din urmă se numește diferența acestei progresii. Determină în mod unic comportamentul întregii serii. Într-adevăr, dacă d este pozitiv, atunci seria de numere va crește constant, dimpotrivă, în cazul d negativ, numerele din serie vor crește doar modulo, în timp ce valoarea lor absolută va scădea odată cu creșterea numărului n.
Care este diferența dintre progresia aritmetică? Luați în considerare cele două formule principale care sunt utilizate pentru a calcula această valoare:
- d=an+1-a , această formulă decurge direct din definiția seriei de numere în cauză.
- d=(-a1+a)/(n-1), această expresie se obține prin exprimarea d din formula dată în paragraful anterior al articolului. Rețineți că această expresie devine nedeterminată (0/0) dacă n=1. Acest lucru se datorează faptului că este necesar să cunoașteți cel puțin 2 elemente ale seriei pentru a determina diferența acesteia.
Aceste două formule de bază sunt folosite pentru a rezolva orice problemă de găsire a diferenței de progresie. Cu toate acestea, există o altă formulă despre care trebuie să știți.
Suma primelor elemente
Formula care poate fi folosită pentru a determina suma oricărui număr de membri ai unei progresii algebrice, conform dovezilor istorice, a fost obținută pentru prima dată de „prințul” matematicii din secolul al XVIII-lea, Carl Gauss. Un om de știință german, pe când era încă băiat în clasele elementare ale unei școli din sat, a observat că pentru a adăuga numere naturale în seria de la 1 la 100, trebuie mai întâi să însumați primul element și ultimul (valoarea rezultată va fi egală). la suma penultimului și al doilea, penultimul și al treilea elemente și așa mai departe), iar apoi acest număr ar trebui înmulțit cu numărul acestor sume, adică cu 50.
Formula care reflectă rezultatul declarat pe un anumit exemplu poate fi generalizată la un caz arbitrar. Va arăta astfel: S =n/2(a +a1). Rețineți că pentru a găsi valoarea specificată, nu este necesară cunoașterea diferenței d,dacă sunt cunoscuți doi termeni ai progresiei (a și a1).
Exemplu 1. Determinați diferența, cunoscând cei doi termeni ai seriei a1 și an
Să arătăm cum să aplicăm formulele menționate mai sus în articol. Să dăm un exemplu simplu: diferența progresiei aritmetice este necunoscută, este necesar să se determine cu ce va fi egală dacă a13=-5, 6 și a1 =-12, 1.
Deoarece cunoaștem valorile a două elemente ale șirului numeric, iar unul dintre ele este primul număr, putem folosi formula nr. 2 pentru a determina diferența d. Avem: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. În expresie, am folosit valoarea n=13, întrucât membrul cu acest număr de serie este cunoscut.
Diferența rezultată indică faptul că progresia este în creștere, în ciuda faptului că elementele date în starea problemei au o valoare negativă. Se poate observa că a13>a1, deși |a13|<|a 1 |.
Exemplu 2. Membrii pozitivi ai progresiei din exemplul 1
Să folosim rezultatul obținut în exemplul anterior pentru a rezolva o nouă problemă. Se formulează astfel: din ce număr de ordine încep să ia valori pozitive elementele progresiei din exemplul 1?
Așa cum se arată, progresia în care a1=-12, 1 și d=0. 54167 este în creștere, deci de la un anumit număr numerele vor începe să capete numai pozitive valorile. Pentru a determina acest număr n, trebuie să rezolvăm o inegalitate simplă, care estescris matematic după cum urmează: a >0 sau, folosind formula corespunzătoare, rescriem inegalitatea: a1 + (n-1)d>0. Este necesar să găsim necunoscutul n, să-l exprimăm: n>-1a1/d + 1. Acum rămâne să înlocuim valorile cunoscute ale diferenței și primul membru a secvenței. Se obține: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 sau n>23, 338. Deoarece n poate lua numai valori întregi, din inegalitatea rezultată rezultă că orice membru al seriei care va au un număr mai mare de 23 vor fi pozitive.
Verifică-ți răspunsul folosind formula de mai sus pentru a calcula al 23-lea și al 24-lea element al acestei progresii aritmetice. Avem: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (număr negativ); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (valoare pozitivă). Astfel, rezultatul obținut este corect: pornind de la n=24, toți membrii seriei numerice vor fi mai mari decât zero.
Exemplu 3. Câți bușteni vor potrivi?
Să punem o problemă curioasă: în timpul tăierii, s-a decis să stivuim buștenii tăiați unul peste altul, așa cum se arată în figura de mai jos. Câte bușteni pot fi stivuite în acest fel, știind că 10 rânduri se vor potrivi în total?
În acest mod de stivuire a jurnalelor, puteți observa un lucru interesant: fiecare rând următor va conține un log mai puțin decât cel anterior, adică există o progresie algebrică, a cărei diferență este d=1. Presupunând că numărul de loguri din fiecare rând este membru al acestei progresii,și, de asemenea, având în vedere că a1=1 (un singur buștean va potrivi chiar în partea de sus), găsim numărul a10. Avem: a10=1 + 1(10-1)=10. Adică în al 10-lea rând, care se află pe pământ, vor fi 10 bușteni.
Valoarea totală a acestei construcții „piramidale” poate fi obținută folosind formula Gauss. Primim: S10=10/2(10+1)=55 de busteni.
