La studierea proprietăților unei ecuații pătratice, a fost stabilită o restricție - pentru un discriminant mai mic decât zero, nu există o soluție. S-a stipulat imediat că vorbim despre un set de numere reale. Mintea iscoditoare a unui matematician va fi interesată - care este secretul conținut în clauza despre valorile reale?
De-a lungul timpului, matematicienii au introdus conceptul de numere complexe, în care valoarea condiționată a celei de-a doua rădăcini a lui minus unu este luată ca unitate.
Context istoric
Teoria matematică se dezvoltă secvenţial, de la simplu la complex. Să ne dăm seama cum a apărut conceptul numit „număr complex” și de ce este necesar.
Din timpuri imemoriale, baza matematicii a fost contul obișnuit. Cercetătorii cunoșteau doar setul natural de valori. Adunarea și scăderea erau simple. Pe măsură ce relațiile economice deveneau mai complexe, multiplicarea a început să fie folosită în loc să adunăm aceleași valori. Există o operație inversă laînmulțire - împărțire.
Conceptul de număr natural a limitat utilizarea operațiilor aritmetice. Este imposibil să rezolvi toate problemele de împărțire pe mulțimea valorilor întregi. Lucrul cu fracții a condus mai întâi la conceptul de valori raționale, iar apoi la valori iraționale. Dacă pentru rațional este posibil să se indice locația exactă a punctului pe linie, atunci pentru irațional este imposibil să se indice un astfel de punct. Puteți doar să aproximați intervalul. Unirea numerelor raționale și iraționale a format o mulțime reală, care poate fi reprezentată ca o anumită dreaptă cu o scară dată. Fiecare pas de-a lungul liniei este un număr natural, iar între ele sunt valori raționale și iraționale.
Era matematicii teoretice a început. Dezvoltarea astronomiei, mecanicii, fizicii a necesitat rezolvarea unor ecuații din ce în ce mai complexe. În general, s-au găsit rădăcinile ecuației pătratice. La rezolvarea unui polinom cubic mai complex, oamenii de știință s-au confruntat cu o contradicție. Conceptul de rădăcină cubă dintr-un negativ are sens, dar pentru o rădăcină pătrată se obține incertitudinea. În plus, ecuația pătratică este doar un caz special al celei cubice.
În 1545, italianul J. Cardano a propus introducerea conceptului de număr imaginar.
Acest număr este a doua rădăcină a minusului unu. Termenul de număr complex a fost format în cele din urmă doar trei sute de ani mai târziu, în lucrările celebrului matematician Gauss. El a propus extinderea formală a tuturor legilor algebrei la numărul imaginar. Linia reală a fost extinsă laavioane. Lumea este mai mare.
Concepte de bază
Amintiți o serie de funcții care au restricții asupra setului real:
- y=arcsin(x), definit între negativ și pozitiv 1.
- y=ln(x), logaritmul zecimal are sens cu argumente pozitive.
- rădăcină pătrată y=√x, calculată numai pentru x ≧ 0.
Notând i=√(-1), introducem un astfel de concept ca număr imaginar, aceasta va elimina toate restricțiile din domeniul de definire a funcțiilor de mai sus. Expresii precum y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) au sens într-un anumit spațiu al numerelor complexe.
Forma algebrică poate fi scrisă ca o expresie z=x + i×y pe mulțimea valorilor reale x și y, iar i2 =-1.
Noul concept elimină toate restricțiile privind utilizarea oricărei funcții algebrice și seamănă cu un grafic al unei linii drepte în coordonatele valorilor reale și imaginare.
Avion complex
Forma geometrică a numerelor complexe ne permite vizual să reprezentăm multe dintre proprietățile lor. Pe axa Re(z) marchem valorile reale x, pe Im(z) - valorile imaginare ale lui y, apoi punctul z din plan va afișa valoarea complexă necesară.
Definiții:
- Re(z) - axa reală.
- Im(z) - înseamnă axa imaginară.
- z - punctul condiționat al unui număr complex.
- Se numește valoarea numerică a lungimii vectorului de la zero la zmodul.
- Axele reale și imaginare împart avionul în sferturi. Cu o valoare pozitivă a coordonatelor - I trimestru. Când argumentul axei reale este mai mic decât 0, iar axa imaginară este mai mare decât 0 - II sfert. Când coordonatele sunt negative - III trimestru. Ultimul, al patrulea trimestru conține multe valori reale pozitive și valori imaginare negative.
Astfel, pe un plan cu valorile coordonatelor x și y, se poate vizualiza întotdeauna un punct al unui număr complex. Caracterul i este introdus pentru a separa partea reală de cea imaginară.
Proprietăți
- Când valoarea argumentului imaginar este zero, obținem doar un număr (z=x), care este situat pe axa reală și aparține mulțimii reale.
- Caz special când valoarea argumentului real devine zero, expresia z=i×y corespunde locației punctului pe axa imaginară.
- Forma generală a lui z=x + i×y va fi pentru valori diferite de zero ale argumentelor. Indică locația punctului care caracterizează numărul complex într-unul dintre sferturi.
Notație trigonometrică
Reamintim sistemul de coordonate polare și definiția funcțiilor trigonometrice sin și cos. Este evident că cu ajutorul acestor funcții se poate descrie locația oricărui punct din plan. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea fasciculului polar și unghiul de înclinare față de axa reală.
Definiție. O intrare de forma ∣z ∣ înmulțită cu suma funcțiilor trigonometrice cos(ϴ) și a părții imaginare i ×sin(ϴ) se numește număr complex trigonometric. Aici desemnarea este unghiul de înclinare față de axa reală
ϴ=arg(z) și r=∣z∣, lungimea fasciculului.
Din definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice, urmează o formulă Moivre foarte importantă:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Folosind această formulă, este convenabil să rezolvi multe sisteme de ecuații care conțin funcții trigonometrice. Mai ales când se pune problema ridicării la putere.
Modul și faza
Pentru a completa descrierea unui set complex, propunem două definiții importante.
Cunoscând teorema lui Pitagora, este ușor de calculat lungimea fasciculului în sistemul de coordonate polare.
r=∣z∣=√(x2 + y2), o astfel de notație pe un spațiu complex se numește „ module și caracterizează distanța de la 0 la un punct din plan.
Unghiul de înclinare al fasciculului complex față de linia reală ϴ este denumit în mod obișnuit faza.
Definiția arată că părțile reale și imaginare sunt descrise folosind funcții ciclice. Și anume:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Invers, faza este legată de valorile algebrice prin formula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, se introduce corecția µ pentru a ține cont de periodicitatea funcțiilor geometrice.
Formula Euler
Matematicienii folosesc adesea forma exponențială. Numerele plane complexe sunt scrise ca expresii
z=r × ei×ϴ , care rezultă din formula lui Euler.
Această înregistrare este utilizată pe scară largă pentru calculul practic al mărimilor fizice. Forma de prezentare in formanumerele complexe exponențiale sunt deosebit de convenabile pentru calculele de inginerie, unde devine necesar să se calculeze circuite cu curenți sinusoidali și este necesar să se cunoască valoarea integralelor funcțiilor cu o perioadă dată. Calculele în sine servesc ca instrument în proiectarea diferitelor mașini și mecanisme.
Definiți operațiuni
După cum sa menționat deja, toate legile algebrice ale lucrului cu funcții matematice de bază se aplică numerelor complexe.
Operațiune de sumă
La adăugarea unor valori complexe, se adaugă și părțile lor reale și imaginare.
z=z1 + z2 unde z1 și z2 - numere complexe generale. Transformând expresia, după deschiderea parantezelor și simplificarea notației, obținem argumentul real x=(x1 + x2), argumentul imaginar y=(a 1 + y2).
Pe grafic, se pare ca suma a doi vectori, conform binecunoscutei reguli a paralelogramului.
Operația de scădere
Considerat ca un caz special de adunare, când un număr este pozitiv, celăl alt este negativ, adică situat în sfertul oglinzii. Notația algebrică arată ca diferența dintre părțile reale și cele imaginare.
z=z1 - z2 sau, ținând cont de valorile argumentelor, similar adunării operație, obținem pentru valorile reale x=(x1 - x2) și imaginar y=(y1- y2).
Multiplicarea pe plan complex
Folosind regulile de lucru cu polinoame, derivăm formulapentru a rezolva numere complexe.
Urmând regulile algebrice generale z=z1×z2, descrieți fiecare argument și enumerați pe unul similar. Părțile reale și imaginare pot fi scrise astfel:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Arată mai frumos dacă folosim numere complexe exponențiale.
Expresia arată astfel: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Mai simplu, modulele sunt multiplicate și fazele sunt adăugate.
Diviziune
Când luăm în considerare operația de împărțire ca inversă a înmulțirii, obținem o expresie simplă în notație exponențială. Împărțirea valorii z1 la z2 este rezultatul împărțirii modulelor și diferenței de fază. În mod formal, când utilizați forma exponențială a numerelor complexe, arată astfel:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
În formă de notație algebrică, operația de împărțire a numerelor planului complex se scrie puțin mai complicată:
z=z1 / z2.
Descriind argumente și efectuând transformări polinomiale, este ușor să obțineți valorix=x1 × x2 + y1 × y2, respectiv y=x2 × y1 - x1 × y2 , totuși, în spațiul descris, această expresie are sens dacă z2 ≠ 0.
Extrage rădăcina
Toate cele de mai sus pot fi aplicate la definirea unor funcții algebrice mai complexe - ridicarea la orice putere și inversul acesteia - extragerea rădăcinii.
Folosind conceptul general de ridicare la puterea n, obținem definiția:
zn =(r × eiϴ).
Folosind proprietăți comune, rescrieți ca:
zn =rn × eiϴ.
Avem o formulă simplă pentru ridicarea unui număr complex la o putere.
Din definiția gradului obținem o consecință foarte importantă. O putere pară a unității imaginare este întotdeauna 1. Orice putere impară a unității imaginare este întotdeauna -1.
Acum să studiem funcția inversă - extragerea rădăcinii.
Pentru ușurința notării, să luăm n=2. Rădăcina pătrată w a valorii complexe z pe planul complex C este considerată a fi expresia z=±, valabilă pentru orice argument real mai mare sau egal cu zero. Pentru w ≦ 0, nu există nicio soluție.
Să ne uităm la cea mai simplă ecuație pătratică z2 =1. Folosind formule cu numere complexe, rescrieți r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Din înregistrare se poate observa că r2 =1 și ϴ=0, prin urmare, avem o soluție unică egală cu 1. Dar acest lucru contrazice noțiunea că z=-1 se potrivește și definiției unei rădăcini pătrate.
Să ne dăm seama ce nu ținem cont. Dacă ne amintim notația trigonometrică, atunci restabilim enunțul - cu o schimbare periodică în faza ϴ, numărul complex nu se modifică. Fie p să desemneze valoarea perioadei, atunci avem r2 × ei2ϴ =ei(0+p), de unde 2ϴ=0 + p sau ϴ=p / 2. Prin urmare, ei0 =1 și eip/2 =-1. Am obținut a doua soluție, care corespunde înțelegerii generale a rădăcinii pătrate.
Deci, pentru a găsi o rădăcină arbitrară a unui număr complex, vom urma procedura.
- Scrieți forma exponențială w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k este un număr întreg arbitrar.
- Numărul dorit este reprezentat și în forma lui Euler z=r × eiϴ.
- Utilizați definiția generală a funcției de extracție a rădăcinii r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + buc).
- Din proprietățile generale ale egalității modulelor și argumentelor, scriem rn =∣w∣ și nϴ=arg (w) + p×k.
- Înregistrarea finală a rădăcinii unui număr complex este descrisă de formula z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Notă. Valoarea lui ∣w∣, prin definiție,este un număr real pozitiv, deci rădăcina oricărui grad are sens.
Câmp și conjugare
În concluzie, oferim două definiții importante care au o importanță mică pentru rezolvarea problemelor aplicate cu numere complexe, dar sunt esențiale pentru dezvoltarea ulterioară a teoriei matematice.
Expresiile pentru adunare și înmulțire se spune că formează un câmp dacă îndeplinesc axiomele pentru orice elemente din planul complex z:
- Suma complexă nu se modifică de la schimbarea locurilor termenilor complecși.
- Afirmația este adevărată - într-o expresie complexă, orice sumă a două numere poate fi înlocuită cu valoarea lor.
- Există o valoare neutră 0 pentru care z + 0=0 + z=z este adevărat.
- Pentru orice z există un opus - z, adăugarea căruia dă zero.
- La schimbarea locurilor factorilor complexi, produsul complex nu se schimbă.
- Înmulțirea oricăror două numere poate fi înlocuită cu valoarea lor.
- Există o valoare neutră 1, înmulțirea cu care nu se modifică numărul complex.
- Pentru fiecare z ≠ 0, există o inversă a z-1, care se înmulțește cu 1.
- Înmulțirea sumei a două numere cu o treime este echivalentă cu operația de înmulțire a fiecăruia dintre ele cu acest număr și de adunare a rezultatelor.
- 0 ≠ 1.
Numerele z1 =x + i×y și z2 =x - i×y se numesc conjugate.
Teorema. Pentru conjugare, afirmația este adevărată:
- Conjugarea sumei este egală cu suma elementelor conjugate.
- Conjugatul produsului esteprodus al conjugărilor.
- Conjugarea conjugării este egală cu numărul în sine.
În algebra generală, astfel de proprietăți sunt numite automorfisme de câmp.
Exemple
Urmând regulile și formulele date ale numerelor complexe, puteți opera cu ușurință cu ele.
Să luăm în considerare cele mai simple exemple.
Problema 1. Folosind ecuația 3y +5 x i=15 - 7i, determinați x și y.
Decizie. Reamintim definiția egalităților complexe, atunci 3y=15, 5x=-7. Prin urmare, x=-7 / 5, y=5.
Sarcina 2. Calculați valorile 2 + i28 și 1 + i135.
Decizie. Evident, 28 este un număr par, din consecința definiției unui număr complex în putere avem i28 =1, ceea ce înseamnă că expresia 2 + i 28 =3. A doua valoare, i135 =-1, apoi 1 + i135 =0.
Sarcina 3. Calculați produsul valorilor 2 + 5i și 4 + 3i.
Decizie. Din proprietățile generale de înmulțire a numerelor complexe se obține (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Noua valoare va fi -7 + 26i.
Sarcina 4. Calculați rădăcinile ecuației z3 =-i.
Decizie. Există mai multe moduri de a găsi un număr complex. Să luăm în considerare una dintre posibile. Prin definiție, ∣ - i∣=1, faza pentru -i este -p / 4. Ecuația originală poate fi rescrisă ca r3ei3ϴ =e-p/4+pk, de unde z=e-p / 12 + pk/3, pentru orice număr întreg k.
Setul de soluții are forma (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
De ce avem nevoie de numere complexe
Istoria cunoaște multe exemple când oamenii de știință, care lucrează la o teorie, nici măcar nu se gândesc la aplicarea practică a rezultatelor lor. Matematica este, în primul rând, un joc al minții, o aderență strictă la relațiile cauză-efect. Aproape toate construcțiile matematice se reduc la rezolvarea ecuațiilor integrale și diferențiale, iar cele, la rândul lor, cu o oarecare aproximare, se rezolvă prin găsirea rădăcinilor polinoamelor. Aici întâlnim mai întâi paradoxul numerelor imaginare.
Oamenii de știință naturaliști, rezolvând probleme cu totul practice, recurgând la soluții ale diverselor ecuații, descoperă paradoxuri matematice. Interpretarea acestor paradoxuri duce la descoperiri absolut uimitoare. Natura duală a undelor electromagnetice este un astfel de exemplu. Numerele complexe joacă un rol crucial în înțelegerea proprietăților lor.
Acest lucru, la rândul său, a găsit aplicații practice în optică, electronică radio, energie și multe alte domenii tehnologice. Un alt exemplu, mult mai greu de înțeles fenomenele fizice. Antimateria a fost prezisă în vârful unui stilou. Și doar mulți ani mai târziu, încep încercările de a o sintetiza fizic.
Să nu credeți că doar în fizică există astfel de situații. Descoperiri nu mai puțin interesante se fac în fauna sălbatică, în sinteza macromoleculelor, în timpul studiului inteligenței artificiale. Și totul se datoreazăextinderea conștiinței noastre, îndepărtându-ne de simpla adăugare și scădere a valorilor naturale.
