Fiecare elev știe că pătratul ipotenuzei este întotdeauna egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele fiind pătrat. Această afirmație se numește teorema lui Pitagora. Este una dintre cele mai cunoscute teoreme din trigonometrie și matematică în general. Luați în considerare mai detaliat.
Conceptul de triunghi dreptunghic
Înainte de a trece la considerarea teoremei lui Pitagora, în care pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor care sunt la pătrat, ar trebui să luăm în considerare conceptul și proprietățile unui triunghi dreptunghic, pentru care teorema este valid.
Triunghiul este o figură plată cu trei unghiuri și trei laturi. Un triunghi dreptunghic, după cum sugerează și numele, are un unghi drept, adică acest unghi este 90o.
Din proprietățile generale pentru toate triunghiurile, se știe că suma tuturor celor trei unghiuri ale acestei figuri este 180o, ceea ce înseamnă că pentru un triunghi dreptunghic suma lui două unghiuri care nu sunt drepte, este 180o -90o=90o. Ultimul fapt înseamnă că orice unghi dintr-un triunghi dreptunghic care nu este un unghi drept va fi întotdeauna mai mic de 90o.
Latura care se află opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Celel alte două laturi sunt catetele triunghiului, pot fi egale între ele sau pot diferi. Din trigonometrie se știe că, cu cât este mai mare unghiul față de care se află o latură într-un triunghi, cu atât lungimea acestei laturi este mai mare. Aceasta înseamnă că într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza (se află vizavi de unghiul 90o) va fi întotdeauna mai mare decât oricare dintre catete (se află vizavi de unghiurile < 90o).).
Notația matematică a teoremei lui Pitagora
Această teoremă spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele fiind anterior la pătrat. Pentru a scrie această formulare matematic, considerăm un triunghi dreptunghic în care laturile a, b și c sunt cele două catete și, respectiv, ipotenuza. În acest caz, teorema, care este afirmată ca pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, poate fi reprezentată prin următoarea formulă: c2=a 2 + b 2. De aici se pot obține și alte formule importante pentru practică: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) și c=√(a2 + b2).
Rețineți că în cazul unui triunghi echilateral dreptunghic, adică a=b, formularea: pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor, fiecare dintre elepătrat, scris matematic ca: c2=a2 + b2=2a 2, care implică egalitatea: c=a√2.
Context istoric
Teorema lui Pitagora, care spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma catetelor, fiecare dintre ele la pătrat, era cunoscută cu mult înainte ca celebrul filosof grec să-i acorde atenție. Multe papirusuri din Egiptul antic, precum și tăblițele de lut ale babilonienilor, confirmă că aceste popoare au folosit proprietatea remarcată a laturilor unui triunghi dreptunghic. De exemplu, una dintre primele piramide egiptene, Piramida lui Khafre, a cărei construcție datează din secolul 26 î. Hr. (2000 de ani înainte de viața lui Pitagora), a fost construită pe baza cunoașterii raportului de aspect într-un triunghi dreptunghic 3x4x5.
De ce atunci teorema este numită acum după o greacă? Răspunsul este simplu: Pitagora este primul care a demonstrat matematic această teoremă. Scrierile babiloniene și egiptene care au supraviețuit menționează doar utilizarea acestuia, dar nu oferă nicio dovadă matematică.
Se crede că Pitagora a demonstrat teorema luată în considerare folosind proprietățile triunghiurilor similare, pe care le-a obținut desenând o înălțime într-un triunghi dreptunghic de la unghiul 90o la ipotenuza.
Un exemplu de utilizare a teoremei lui Pitagora
Luați în considerare o problemă simplă: este necesar să se determine lungimea unei scări înclinate L, dacă se știe că are înălțimea H=3metri, iar distanța de la peretele de care se sprijină scara până la picior este P=2,5 metri.
În acest caz, H și P sunt catetele, iar L este ipotenuza. Deoarece lungimea ipotenuzei este egală cu suma pătratelor catetelor, obținem: L2=H2 + P 2, de unde L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 metri sau 3 metri și 90,5 cm.
