Studiarea teoriei probabilităților începe cu rezolvarea problemelor de adunare și înmulțire a probabilităților. Merită menționat imediat că atunci când stăpânește acest domeniu de cunoaștere, un student poate întâmpina o problemă: dacă procesele fizice sau chimice pot fi reprezentate vizual și înțelese empiric, atunci nivelul de abstractizare matematică este foarte ridicat, iar înțelegerea aici vine doar cu experiență.
Totuși, jocul merită lumânarea, deoarece formulele - atât luate în considerare în acest articol, cât și altele mai complexe - sunt folosite peste tot astăzi și pot fi foarte utile în muncă.
Origine
Destul de ciudat, impulsul pentru dezvoltarea acestei secțiuni de matematică a fost… jocurile de noroc. Într-adevăr, zarurile, aruncarea de monede, pokerul, ruleta sunt exemple tipice care folosesc adunarea și înmulțirea probabilităților. Pe exemplul sarcinilor din orice manual, acest lucru poate fi văzut clar. Oamenii erau interesați să învețe cum să-și mărească șansele de câștig și trebuie să spun că unii au reușit acest lucru.
De exemplu, deja în secolul 21, o persoană, al cărei nume nu îl vom dezvălui,a folosit aceste cunoștințe acumulate de-a lungul secolelor pentru a „curăța” literalmente cazinoul, câștigând câteva zeci de milioane de dolari la ruletă.
Cu toate acestea, în ciuda interesului crescut pentru subiect, abia în secolul al XX-lea a fost dezvoltat un cadru teoretic care a făcut din „teorver” o componentă cu drepturi depline a matematicii. Astăzi, în aproape orice știință, puteți găsi calcule folosind metode probabilistice.
Aplicabilitate
Un punct important atunci când se folosesc formule de adunare și înmulțire a probabilităților, probabilitatea condiționată este satisfacabilitatea teoremei limitei centrale. În caz contrar, deși s-ar putea să nu fie realizat de către elev, toate calculele, oricât de plauzibile ar părea, vor fi incorecte.
Da, elevul foarte motivat este tentat să folosească cunoștințe noi cu fiecare ocazie. Dar în acest caz, ar trebui să încetinești puțin și să subliniezi cu strictețe domeniul de aplicare.
Teoria probabilității se ocupă de evenimente aleatoare, care în termeni empirici sunt rezultatele experimentelor: putem arunca un zar cu șase fețe, putem trage o carte dintr-un pachet, putem prezice numărul de părți defecte dintr-un lot. Cu toate acestea, în unele întrebări este categoric imposibil să se utilizeze formule din această secțiune a matematicii. Vom discuta caracteristicile luării în considerare a probabilităților unui eveniment, teoremele de adunare și înmulțire a evenimentelor la sfârșitul articolului, dar deocamdată să ne întoarcem la exemple.
Concepte de bază
Un eveniment aleatoriu înseamnă un proces sau un rezultat care poate apărea sau nuca urmare a experimentului. De exemplu, aruncăm un sandviș - poate cădea untul în sus sau în jos. Oricare dintre cele două rezultate va fi aleatorie și nu știm dinainte care dintre ele va avea loc.
Când studiem adunarea și înmulțirea probabilităților, avem nevoie de încă două concepte.
Evenimentele comune sunt acele evenimente, apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuil alt. Să presupunem că doi oameni trag într-o țintă în același timp. Dacă unul dintre ei trage o lovitură reușită, aceasta nu va afecta capacitatea celuil alt de a lovi sau de a rata.
Inconsecvente vor fi astfel de evenimente, a căror apariție este simultan imposibilă. De exemplu, dacă scoateți o singură minge din cutie, nu puteți obține atât albastru, cât și roșu simultan.
Desemnare
Conceptul de probabilitate este notat cu litera majusculă latină P. Urmează între paranteze argumentele care denotă unele evenimente.
În formulele teoremei adunării, probabilității condiționate, teoremei înmulțirii, veți vedea expresii între paranteze, de exemplu: A+B, AB sau A|B. Acestea vor fi calculate în diverse moduri, acum ne vom întoarce la ele.
Adăugare
Să luăm în considerare cazurile în care se folosesc formule de adunare și înmulțire.
Pentru evenimentele incompatibile, cea mai simplă formulă de adunare este relevantă: probabilitatea oricăruia dintre rezultatele aleatoare va fi egală cu suma probabilităților fiecăruia dintre aceste rezultate.
Să presupunem că există o cutie cu 2 baloane albastre, 3 roșii și 5 galbene. În cutie sunt 10 articole în total. Care este procentul de adevăr al afirmației că vom trage o minge albastră sau roșie? Va fi egal cu 2/10 + 3/10, adică cincizeci la sută.
În cazul evenimentelor incompatibile, formula devine mai complicată, deoarece se adaugă un termen suplimentar. Vom reveni la el într-un paragraf, după ce luăm în considerare încă o formulă.
Multiplicare
Adunarea și multiplicarea probabilităților evenimentelor independente sunt utilizate în cazuri diferite. Dacă, conform condiției experimentului, suntem mulțumiți de oricare dintre cele două rezultate posibile, vom calcula suma; dacă dorim să obținem două anumite rezultate unul după altul, vom recurge la utilizarea unei formule diferite.
Revenind la exemplul din secțiunea anterioară, vrem să desenăm mai întâi bila albastră și apoi pe cea roșie. Primul număr pe care îl știm este 2/10. Ce se întâmplă în continuare? Au mai rămas 9 bile, mai sunt tot același număr de roșii - trei piese. Conform calculelor, obțineți 3/9 sau 1/3. Dar ce să faci acum cu două numere? Răspunsul corect este să înmulțiți pentru a obține 2/30.
Evenimente comune
Acum putem revizui formula sumei pentru evenimentele comune. De ce ne abatem de la subiect? Pentru a afla cum se înmulțesc probabilitățile. Acum aceste cunoștințe vor fi utile.
Știm deja care vor fi primii doi termeni (la fel ca în formula de adunare considerată mai devreme), acum trebuie să scădemprodusul probabilităților pe care tocmai am învățat să le calculăm. Pentru claritate, scriem formula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Se dovedește că atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților sunt folosite într-o singură expresie.
Să presupunem că trebuie să rezolvăm oricare dintre cele două probleme pentru a obține credit. Primul îl putem rezolva cu o probabilitate de 0,3, iar al doilea - 0,6. Rezolvare: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Rețineți că simpla însumare a numerelor de aici nu va fi suficientă.
Probabilitatea condiționată
În sfârșit, există conceptul de probabilitate condiționată, ale cărui argumente sunt indicate între paranteze și separate printr-o bară verticală. Intrarea P(A|B) arată după cum urmează: „probabilitatea evenimentului A dat eveniment B”.
Să ne uităm la un exemplu: un prieten îți oferă un dispozitiv, să fie un telefon. Poate fi spart (20%) sau bun (80%). Poți repara orice dispozitiv care ți cade în mâini cu o probabilitate de 0,4 sau nu poți să o faci (0,6). În cele din urmă, dacă dispozitivul este în stare de funcționare, puteți ajunge la persoana potrivită cu o probabilitate de 0,7.
Este ușor să vezi cum funcționează probabilitatea condiționată în acest caz: nu poți ajunge la o persoană dacă telefonul este stricat și, dacă este bun, nu trebuie să-l repari. Astfel, pentru a obține rezultate la „al doilea nivel”, trebuie să știți ce eveniment a fost executat pe primul.
Calcule
Să luăm în considerare exemple de rezolvare a problemelor de adunare și înmulțire a probabilităților, folosind datele din paragraful anterior.
În primul rând, să găsim probabilitatea ca dvsrepara aparatul care ti-a fost dat. Pentru a face acest lucru, în primul rând, trebuie să fie defect și, în al doilea rând, trebuie să faceți față reparației. Aceasta este o problemă tipică de înmulțire: obținem 0,20,4=0,08.
Care este probabilitatea ca tu să ajungi imediat la persoana potrivită? Mai ușor decât simplu: 0,80,7=0,56. În acest caz, ați constatat că telefonul funcționează și ați efectuat cu succes un apel.
În cele din urmă, luați în considerare acest scenariu: ați primit un telefon stricat, l-ați reparat, apoi ați format numărul, iar persoana de la capătul opus a răspuns la telefon. Aici, înmulțirea a trei componente este deja necesară: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Și ce se întâmplă dacă ai două telefoane care nu funcționează simultan? Cât de probabil aveți să remediați cel puțin unul dintre ele? Aceasta este o problemă de adunare și multiplicare a probabilităților, deoarece se folosesc evenimente comune. Rezolvare: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Utilizare atentă
Așa cum sa menționat la începutul articolului, utilizarea teoriei probabilităților ar trebui să fie deliberată și conștientă.
Cu cât seria de experimente este mai mare, cu atât valoarea prezisă teoretic se apropie mai mult de cea practică. De exemplu, aruncăm o monedă. Teoretic, știind despre existența formulelor de adunare și multiplicare a probabilităților, putem prezice de câte ori vor cădea capul și cozile dacă efectuăm experimentul de 10 ori. Am făcut un experiment șiÎntâmplător, raportul laturilor căzute a fost de 3 la 7. Dar dacă efectuați o serie de 100, 1000 sau mai multe încercări, se dovedește că graficul de distribuție se apropie din ce în ce mai mult de cel teoretic: 44 la 56, 482 la 518 și așa mai departe.
Acum imaginați-vă că acest experiment este efectuat nu cu o monedă, ci cu producerea unei noi substanțe chimice, a cărei probabilitate nu o știm. Am face 10 experimente și, dacă nu am obține un rezultat de succes, am putea generaliza: „substanța nu poate fi obținută”. Dar cine știe, dacă am fi făcut a unsprezecea încercare, am fi atins obiectivul sau nu?
Deci, dacă intri în necunoscut, în tărâmul neexplorat, teoria probabilității s-ar putea să nu se aplice. Fiecare încercare ulterioară în acest caz poate avea succes, iar generalizări precum „X nu există” sau „X este imposibil” vor fi premature.
Cuvânt de închidere
Deci am analizat două tipuri de adunare, înmulțire și probabilități condiționate. Odată cu studiul suplimentar al acestei zone, este necesar să învățăm să distingem situațiile în care este utilizată fiecare formulă specifică. În plus, trebuie să înțelegeți dacă metodele probabilistice sunt aplicabile în general pentru rezolvarea problemei dvs.
Dacă exersezi, după un timp vei începe să faci toate operațiunile necesare exclusiv în mintea ta. Pentru cei pasionați de jocurile de cărți, această abilitate poate fi luată în considerareextrem de valoros - îți vei crește semnificativ șansele de câștig, doar calculând probabilitatea ca o anumită carte sau costum să cadă. Cu toate acestea, cunoștințele dobândite pot fi aplicate cu ușurință în alte domenii de activitate.
