Progresul omenirii se datorează în mare măsură descoperirilor făcute de genii. Unul dintre ei este Blaise Pascal. Biografia sa creativă confirmă încă o dată adevărul expresiei lui Lion Feuchtwanger „O persoană talentată, talentată în toate”. Toate realizările științifice ale acestui mare om de știință sunt greu de numărat. Printre acestea se numără una dintre cele mai elegante invenții din lumea matematicii - triunghiul lui Pascal.
Câteva cuvinte despre geniu
Blaise Pascal a murit devreme, conform standardelor moderne, la vârsta de 39 de ani. Cu toate acestea, în scurta sa viață, s-a remarcat ca un fizician, matematician, filozof și scriitor remarcabil. Descendenții recunoscători au numit unitatea de presiune și limbajul de programare popular Pascal în onoarea lui. A fost folosit de aproape 60 de ani pentru a învăța cum să scrieți diverse coduri. De exemplu, cu ajutorul său, fiecare elev poate scrie un program pentru a calcula aria unui triunghi în Pascal, precum și să exploreze proprietățile circuitului, desprecare va fi discutat mai jos.
Activitatea acestui om de știință cu o gândire extraordinară se întinde pe o mare varietate de domenii ale științei. În special, Blaise Pascal este unul dintre fondatorii hidrostaticii, analizei matematice, a unor domenii ale geometriei și teoriei probabilităților. De asemenea, el:
- a creat un calculator mecanic cunoscut sub numele de roata Pascal;
- a oferit dovezi experimentale că aerul are elasticitate și greutate;
- a stabilit că un barometru poate fi folosit pentru a prezice vremea;
- a inventat roaba;
- a inventat omnibusul - trăsuri trase de cai cu rute fixe, care au devenit ulterior primul tip de transport public regulat etc.
Triunghiul aritmetic al lui Pascal
După cum sa menționat deja, acest mare om de știință francez a adus o contribuție uriașă la știința matematică. Una dintre capodoperele sale științifice absolute este „Tratatul despre triunghiul aritmetic”, care constă din coeficienți binomi aranjați într-o anumită ordine. Proprietățile acestei scheme sunt izbitoare prin diversitatea lor și ea însăși confirmă proverbul „Totul ingenios este simplu!”.
Un pic de istorie
Pentru a fi corect, trebuie spus că de fapt triunghiul lui Pascal era cunoscut în Europa încă de la începutul secolului al XVI-lea. În special, imaginea sa poate fi văzută pe coperta unui manual de aritmetică al celebrului astronom Peter Apian de la Universitatea din Ingolstadt. Un triunghi similar este, de asemenea, prezentat ca ilustrație.într-o carte a matematicianului chinez Yang Hui, publicată în 1303. Remarcabilul poet și filozof persan Omar Khayyam era, de asemenea, conștient de proprietățile sale la începutul secolului al XII-lea. În plus, se crede că l-a cunoscut din tratatele oamenilor de știință arabi și indieni scrise mai devreme.
Descriere
Înainte de a explora cele mai interesante proprietăți ale triunghiului lui Pascal, frumos prin perfecțiunea și simplitatea sa, merită să știi ce este.
Din punct de vedere științific, această schemă numerică este un tabel triunghiular nesfârșit format din coeficienți binomi aranjați într-o anumită ordine. În partea de sus și pe laturi se află numerele 1. Pozițiile rămase sunt ocupate de numere egale cu suma celor două numere situate deasupra lor unul lângă celăl alt. În plus, toate liniile triunghiului lui Pascal sunt simetrice față de axa lui verticală.
Funcții de bază
Triunghiul lui Pascal lovește cu perfecțiunea sa. Pentru orice rând numerotat n (n=0, 1, 2…) adevărat:
- primul și ultimul număr sunt 1;
- a doua și penultimul - n;
- al treilea număr este egal cu numărul triunghiular (numărul de cercuri care pot fi aranjate într-un triunghi echilateral, adică 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Al patrulea număr este tetraedric, adică este o piramidă cu un triunghi la bază.
În plus, relativ recent, în 1972, a fost stabilită o altă proprietate a triunghiului lui Pascal. Pentru elpentru a afla, trebuie să scrieți elementele acestei scheme sub forma unui tabel cu o schimbare de rând cu 2 poziții. Apoi notați numerele divizibile cu numărul liniei. Se pare că numărul coloanei în care sunt evidențiate toate numerele este un număr prim.
Același truc poate fi făcut în alt mod. Pentru a face acest lucru, în triunghiul lui Pascal, numerele sunt înlocuite cu resturile împărțirii lor cu numărul rândului din tabel. Apoi liniile sunt aranjate în triunghiul rezultat astfel încât următorul să înceapă 2 coloane la dreapta de primul element al celui precedent. Apoi, coloanele cu numere care sunt numere prime vor fi formate doar din zerouri, iar cele cu numere compuse vor conține cel puțin un zero.
Conexiune cu binomul lui Newton
După cum știți, acesta este numele formulei pentru extinderea în termeni ai unei puteri întregi nenegative a sumei a două variabile, care arată astfel:
Coeficienții prezenți în ele sunt egali cu C m =n! / (m! (n - m)!), unde m este numărul ordinal din rândul n al triunghiului lui Pascal. Cu alte cuvinte, având acest tabel la îndemână, puteți ridica cu ușurință orice numere la o putere, descompusendu-le anterior în doi termeni.
Astfel, triunghiul lui Pascal și binomul lui Newton sunt strâns legate.
Minunii matematice
O examinare atentă a triunghiului lui Pascal arată că:
- suma tuturor numerelor din linia cunumărul de serie n (numărând de la 0) este 2;
- dacă liniile sunt aliniate la stânga, atunci sumele numerelor care sunt situate de-a lungul diagonalelor triunghiului lui Pascal, mergând de jos în sus și de la stânga la dreapta, sunt egale cu numerele Fibonacci;
- prima „diagonală” constă din numere naturale în ordine;
- orice element din triunghiul lui Pascal, redus cu unu, este egal cu suma tuturor numerelor situate în interiorul paralelogramului, care este limitat de diagonalele stânga și dreapta care se intersectează pe acest număr;
- în fiecare linie a diagramei, suma numerelor din locurile pare este egală cu suma elementelor din locuri impare.
Triunghiul Sierpinski
O schemă matematică atât de interesantă, destul de promițătoare în ceea ce privește rezolvarea problemelor complexe, se obține prin colorarea numerelor pare ale imaginii Pascal într-o culoare, iar a numerelor impare în alta.
Triunghiul Sierpinski poate fi construit într-un alt mod:
- în schema Pascal umbrită, triunghiul din mijloc este revopsit într-o culoare diferită, care se formează prin conectarea punctelor medii ale laturilor celui original;
- fă exact la fel cu trei nevopsite situate în colțuri;
- dacă procedura este continuată pe termen nelimitat, atunci rezultatul ar trebui să fie o cifră în două culori.
Cea mai interesantă proprietate a triunghiului Sierpinski este auto-asemănarea sa, deoarece constă din 3 copii ale sale, care sunt reduse de 2 ori. Ne permite să atribuim această schemă curbelor fractale și acestea, după cum arată cel mai recentcercetarea este cea mai potrivită pentru modelarea matematică a norilor, a plantelor, a deltelor râurilor și a universului însuși.
Câteva sarcini interesante
Unde este folosit triunghiul lui Pascal? Exemplele de sarcini care pot fi rezolvate cu ajutorul acestuia sunt destul de diverse și aparțin diverselor domenii ale științei. Să aruncăm o privire la unele dintre cele mai interesante.
Problemă 1. Un oraș mare înconjurat de un zid de cetate are o singură poartă de intrare. La prima intersecție, drumul principal se împarte în două. La fel se întâmplă cu oricare altul. 210 persoane intră în oraș. La fiecare dintre intersecțiile pe care le întâlnesc, acestea sunt împărțite în jumătate. Câte persoane se vor găsi la fiecare intersecție când nu se va mai putea împărtăși. Răspunsul ei este linia 10 a triunghiului lui Pascal (formula coeficientului este prezentată mai sus), unde numerele 210 sunt situate de ambele părți ale axei verticale.
Sarcina 2. Există 7 nume de culori. Trebuie să faci un buchet de 3 flori. Este necesar să se afle în câte moduri diferite se poate face acest lucru. Această problemă este din domeniul combinatoriei. Pentru a o rezolva, folosim din nou triunghiul lui Pascal și obținem pe a 7-a linie în a treia poziție (numerând în ambele cazuri de la 0) numărul 35.
Acum știi ce a inventat marele filozof și om de știință francez Blaise Pascal. Faimosul său triunghi, atunci când este utilizat corect, poate deveni un adevărat salvator pentru rezolvarea multor probleme, în special de pe terencombinatorică. În plus, poate fi folosit pentru a rezolva numeroase mistere legate de fractali.
