Un triunghi este un poligon cu trei laturi (trei colțuri). Cel mai adesea, laturile sunt notate cu litere mici, corespunzătoare majusculelor care denotă vârfuri opuse. În acest articol, ne vom familiariza cu tipurile acestor forme geometrice, teorema care determină care este suma unghiurilor unui triunghi.
Vizualizări după unghi
Se disting următoarele tipuri de poligon cu trei vârfuri:
- cu unghi ascuțit, în care toate colțurile sunt ascuțite;
- dreptunghiular, având un unghi drept, în timp ce laturile care îl formează se numesc catete, iar latura care este așezată opus unghiului drept se numește ipotenuză;
- obtuz când un colț este obtuz;
- isoscel, în care două laturi sunt egale și se numesc laterale, iar a treia este baza triunghiului;
- echilateral, având toate cele trei laturi egale.
Proprietăți
Evidențiază principalele proprietăți care sunt caracteristice fiecărui tip de triunghi:
- opus laturii mai mari există întotdeauna un unghi mai mare și invers;
- laturile opuse de dimensiuni egale sunt unghiuri egale și invers;
- orice triunghi are două unghiuri ascuțite;
- un colț exterior este mai mare decât orice colț interior care nu este adiacent;
- suma oricăror două unghiuri este întotdeauna mai mică de 180 de grade;
- colțul exterior este egal cu suma celorl alte două colțuri care nu se intersectează cu acesta.
Teorema sumei unghiurilor triunghiulare
Teorema spune că, dacă adunăm toate unghiurile unei figuri geometrice date, care este situată pe planul euclidian, atunci suma lor va fi de 180 de grade. Să încercăm să demonstrăm această teoremă.
Să avem un triunghi arbitrar cu vârfuri de KMN.
Prin vârful M trageți o dreaptă paralelă cu dreapta KN (această linie este numită și linie dreaptă euclidiană). Marcam punctul A pe el în așa fel încât punctele K și A să fie situate pe laturi diferite ale dreptei MN. Obținem unghiuri egale AMN și KNM, care, ca și cele interne, sunt încrucișate și sunt formate din secantele MN împreună cu drepte KN și MA, care sunt paralele. De aici rezultă că suma unghiurilor triunghiului situat la vârfurile M și H este egală cu dimensiunea unghiului KMA. Toate cele trei unghiuri alcătuiesc suma, care este egală cu suma unghiurilor KMA și MKN. Deoarece aceste unghiuri sunt interioare unilaterale în raport cudrepte paralele KN și MA cu o secantă KM, suma lor este de 180 de grade. Teoremă demonstrată.
Consecință
Din teorema demonstrată mai sus rezultă următorul corolar: orice triunghi are două unghiuri ascuțite. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că o figură geometrică dată are un singur unghi ascuțit. De asemenea, se poate presupune că niciunul dintre unghiuri nu este acut. În acest caz, trebuie să existe cel puțin două unghiuri egale sau mai mari de 90 de grade. Dar atunci suma unghiurilor va fi mai mare de 180 de grade. Dar acest lucru nu poate fi, deoarece conform teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este de 180 ° - nici mai mult, nici mai puțin. Acesta este ceea ce trebuia dovedit.
Proprietate din colțul exterior
Care este suma unghiurilor unui triunghi care sunt exterioare? La această întrebare se poate răspunde într-unul din două moduri. Primul este că este necesar să se găsească suma unghiurilor, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, adică trei unghiuri. Al doilea implică faptul că trebuie să găsiți suma tuturor celor șase unghiuri de la vârfuri. În primul rând, să ne ocupăm de prima opțiune. Deci, triunghiul conține șase colțuri externe - două la fiecare vârf.
Fiecare pereche are unghiuri egale, deoarece sunt verticale:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
În plus, se știe că unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interne care nu se intersectează cu el. Prin urmare, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Din aceasta rezultă că suma externăcolțurile, care sunt luate câte unul la fiecare vârf, vor fi egale cu:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Având în vedere că suma unghiurilor este de 180 de grade, se poate argumenta că ∟A + ∟B + ∟C=180°. Și asta înseamnă că ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Dacă se folosește a doua opțiune, atunci suma celor șase unghiuri va fi, respectiv, de două ori mai mare. Adică, suma unghiurilor externe ale triunghiului va fi:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
triunghi drept
Care este suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic? Răspunsul la această întrebare, din nou, decurge din teoremă, care afirmă că unghiurile dintr-un triunghi se adună până la 180 de grade. Și afirmația noastră (proprietatea) sună așa: într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite se adună până la 90 de grade. Să-i dovedim veridicitatea.
Să ni se dă un triunghi KMN, în care ∟Н=90°. Este necesar să se demonstreze că ∟K + ∟M=90°.
Deci, conform teoremei sumei unghiurilor ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Condiția noastră spune că ∟Н=90°. Deci, ∟K + ∟M + 90°=180°. Adică ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Asta a trebuit să dovedim.
Pe lângă proprietățile de mai sus ale unui triunghi dreptunghic, puteți adăuga următoarele:
- unghiurile care stau pe picioare sunt ascuțite;
- ipotenuza este triunghiulară mai mult decât oricare dintre catete;
- suma catetelor este mai mare decât ipotenuza;
- piciorun triunghi care se află opus unui unghi de 30 de grade este jumătate din ipotenuză, adică egal cu jumătate din ea.
Ca o altă proprietate a acestei figuri geometrice, se poate distinge teorema lui Pitagora. Ea afirmă că într-un triunghi cu un unghi de 90 de grade (dreptunghiular), suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
Suma unghiurilor unui triunghi isoscel
Mai devreme am spus că isoscel este un poligon cu trei vârfuri, care conține două laturi egale. Această proprietate a unei figuri geometrice date este cunoscută: unghiurile de la baza ei sunt egale. Să demonstrăm.
Luați triunghiul KMN, care este isoscel, KN este baza sa.
Ni se cere să demonstrăm că ∟К=∟Н. Deci, să presupunem că MA este bisectoarea triunghiului nostru KMN. Triunghiul MCA, ținând cont de primul semn de egalitate, este egal cu triunghiul MCA. Și anume, prin condiție se dă că KM=NM, MA este o latură comună, ∟1=∟2, întrucât MA este bisectoare. Folosind faptul că aceste două triunghiuri sunt egale, putem afirma că ∟K=∟Н. Deci teorema este demonstrată.
Dar ne interesează care este suma unghiurilor unui triunghi (isoscel). Deoarece în acest sens nu are propriile sale particularități, vom pleca de la teorema considerată mai devreme. Adică putem spune că ∟K + ∟M + ∟H=180°, sau 2 x ∟K + ∟M=180° (deoarece ∟K=∟H). Nu vom demonstra această proprietate, deoarece teorema sumei triunghiului în sine a fost demonstrată mai devreme.
Cu excepția celor discutateproprietăți despre unghiurile unui triunghi, există și afirmații importante:
- într-un triunghi isoscel, înălțimea care a fost coborâtă la bază este atât mediana, bisectoarea unghiului care se află între laturile egale, cât și axa de simetrie a bazei sale;
- mediane (bisectoare, înălțimi) care sunt desenate pe laturile unei astfel de figuri geometrice sunt egale.
triunghi echilateral
Se mai numește și drept, este triunghiul cu toate laturile egale. Prin urmare, unghiurile sunt de asemenea egale. Fiecare are 60 de grade. Să demonstrăm această proprietate.
Să presupunem că avem un triunghi KMN. Știm că KM=NM=KN. Și aceasta înseamnă că, conform proprietății unghiurilor situate la bază într-un triunghi isoscel, ∟К=∟М=∟Н. Deoarece, conform teoremei, suma unghiurilor unui triunghi este ∟К + ∟М + ∟Н=180°, atunci 3 x ∟К=180° sau ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Astfel, afirmația este dovedită.
După cum puteți vedea din demonstrația de mai sus bazată pe teoremă, suma unghiurilor unui triunghi echilateral, ca și suma unghiurilor oricărui alt triunghi, este de 180 de grade. Nu este nevoie să demonstrați din nou această teoremă.
Există și astfel de proprietăți caracteristice unui triunghi echilateral:
- mediana, bisectoarea, înălțimea într-o astfel de figură geometrică sunt aceleași, iar lungimea lor este calculată ca (a x √3): 2;
- dacă descrii un cerc în jurul unui anumit poligon, atunci raza acestuia va fieste egal cu (a x √3): 3;
- dacă înscrii un cerc într-un triunghi echilateral, atunci raza lui va fi (a x √3): 6;
- aria acestei figuri geometrice se calculează prin formula: (a2 x √3): 4.
Triunghi obt-unghi
Conform definiției unui triunghi obtuz, unul dintre unghiurile sale este între 90 și 180 de grade. Dar având în vedere că celel alte două unghiuri ale acestei figuri geometrice sunt acute, putem concluziona că nu depășesc 90 de grade. Prin urmare, teorema sumei unghiurilor triunghiulare funcționează atunci când se calculează suma unghiurilor dintr-un triunghi obtuz. Se pare că putem spune cu siguranță, pe baza teoremei menționate mai sus, că suma unghiurilor unui triunghi obtuz este de 180 de grade. Din nou, această teoremă nu trebuie dovedită din nou.
