Apariția conceptului de integrală s-a datorat necesității de a găsi funcția antiderivată prin derivata ei, precum și de a determina cantitatea de lucru, aria figurilor complexe, distanța parcursă, cu parametrii conturați de curbe descrise prin formule neliniare.
De la curs
și fizica știe că munca este egală cu produsul dintre forță și distanță. Dacă toată mișcarea are loc cu o viteză constantă sau distanța este depășită cu aplicarea aceleiași forțe, atunci totul este clar, trebuie doar să le înmulțiți. Ce este o integrală a unei constante? Aceasta este o funcție liniară de forma y=kx+c.
Dar forța în timpul lucrului se poate schimba și într-un fel de dependență naturală. Aceeași situație se întâmplă și cu calculul distanței parcurse dacă viteza nu este constantă.
Deci, este clar pentru ce este integrala. Definiția sa ca suma produselor valorilor funcției printr-o creștere infinitezimală a argumentului descrie pe deplin sensul principal al acestui concept ca aria unei figuri delimitată de sus de linia funcției și la marginile după limitele definiției.
Jean Gaston Darboux, matematician francez, în a doua jumătate a secolului XIXsecolul a explicat foarte clar ce este o integrală. El a spus atât de clar că, în general, nu va fi dificil chiar și pentru un elev de liceu să înțeleagă această problemă.
Să spunem că există o funcție a oricărei forme complexe. Axa y, pe care sunt trasate valorile argumentului, este împărțită în intervale mici, în mod ideal, acestea sunt infinit de mici, dar deoarece conceptul de infinit este destul de abstract, este suficient să ne imaginăm doar segmente mici, valoarea dintre care este de obicei notat cu litera greacă Δ (delta).
Funcția sa dovedit a fi „tăiată” în cărămizi mici.
Fiecare valoare a argumentului corespunde unui punct de pe axa y, pe care sunt trasate valorile funcției corespunzătoare. Dar, deoarece zona selectată are două margini, vor exista și două valori ale funcției, mai mult și mai puțin.
Suma produselor valorilor mai mari cu incrementul Δ se numește suma mare Darboux și se notează cu S. În consecință, valorile mai mici într-o zonă limitată, înmulțite cu Δ, toate împreună formează o sumă mică Darboux s. Secțiunea în sine seamănă cu un trapez dreptunghiular, deoarece curbura liniei funcției cu incrementul său infinitezimal poate fi neglijată. Cel mai simplu mod de a găsi aria unei astfel de figuri geometrice este să adăugați produsele valorii mai mari și mai mici ale funcției cu incrementul Δ și să împărțiți la doi, adică să o determinați ca medie aritmetică.
Aceasta este integrala Darboux:
s=Σf(x) Δ este o cantitate mică;
S=Σf(x+Δ)Δ este o sumă mare.
Deci, ce este o integrală? Zona delimitată de linia funcției și limitele definiției va fi:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Adică, media aritmetică a sumelor Darboux mari și mici.c este o valoare constantă care este setată la zero în timpul diferențierii.
Pe baza expresiei geometrice a acestui concept, sensul fizic al integralei devine clar. Aria figurii, conturată de funcția de viteză și limitată de intervalul de timp de-a lungul axei absciselor, va fi lungimea traseului parcurs.
L=∫f(x)dx pe intervalul de la t1 la t2, Unde
f(x) – funcție de viteză, adică formula prin care se modifică în timp;
L – lungimea căii;
t1 – ora de începere;
t2 – ora de încheiere a călătoriei.
Exact conform aceluiași principiu, cantitatea de lucru este determinată, doar distanța va fi reprezentată de-a lungul abscisei, iar cantitatea de forță aplicată în fiecare punct anume va fi reprezentată de-a lungul ordonatei.
