Problemele matematice sunt folosite în multe științe. Acestea includ nu numai fizica, chimia, inginerie și economie, ci și medicină, ecologie și alte discipline. Un concept important de stăpânit pentru a găsi soluții la dileme importante este derivata unei funcții. Semnificația fizică a acesteia nu este deloc atât de greu de explicat pe cât ar putea părea celor neinițiați în esența problemei. Este suficient să găsiți exemple potrivite în acest sens în viața reală și în situațiile obișnuite de zi cu zi. De fapt, orice șofer face față unei sarcini similare în fiecare zi când se uită la vitezometru, determinând viteza mașinii sale într-un anumit moment al unui timp fix. La urma urmei, în acest parametru se află esența semnificației fizice a derivatului.
Cum să găsești viteza
Determinați viteza unei persoane pe drum, știind distanța parcursă și timpul de călătorie, orice elev de clasa a cincea o poate face cu ușurință. Pentru a face acest lucru, prima dintre valorile date este împărțită la a doua. Darnu orice tânăr matematician știe că în prezent găsește raportul dintre incrementele unei funcții și ale unui argument. Într-adevăr, dacă ne imaginăm mișcarea sub forma unui grafic, trasând calea de-a lungul axei y și timpul de-a lungul abscisei, va fi exact așa.
Cu toate acestea, viteza unui pieton sau a oricărui alt obiect pe care îl determinăm pe o porțiune mare a căii, considerând că mișcarea este uniformă, se poate schimba foarte bine. Există multe forme de mișcare în fizică. Poate fi efectuat nu numai cu o accelerație constantă, dar încetinește și crește într-un mod arbitrar. De remarcat că în acest caz linia care descrie mișcarea nu va mai fi o linie dreaptă. Grafic, poate prelua cele mai complexe configurații. Dar pentru oricare dintre punctele din grafic, putem desena întotdeauna o tangentă reprezentată printr-o funcție liniară.
Pentru a clarifica parametrul de schimbare a deplasării în funcție de timp, este necesară scurtarea segmentelor măsurate. Când devin infinit de mici, viteza calculată va fi instantanee. Această experiență ne ajută să definim derivata. Semnificația sa fizică decurge și logic dintr-un astfel de raționament.
În ceea ce privește geometria
Se știe că cu cât viteza corpului este mai mare, cu atât graficul dependenței deplasării în timp este mai abrupt și, prin urmare, unghiul de înclinare al tangentei la grafic într-un anumit punct. Un indicator al unor astfel de modificări poate fi tangenta unghiului dintre axa x și linia tangentă. Ea determină doar valoarea derivatei și este calculată prin raportul lungimiiopus catetei adiacente într-un triunghi dreptunghic format dintr-o perpendiculară căzută dintr-un punct pe axa x.
Acesta este sensul geometric al primei derivate. Cel fizic se relevă în faptul că valoarea piciorului opus în cazul nostru este distanța parcursă, iar cea adiacentă este timpul. Raportul lor este viteza. Și din nou ajungem la concluzia că viteza instantanee, determinată atunci când ambele goluri tind să fie infinit de mici, este esența conceptului de derivată, indicând sensul său fizic. A doua derivată din acest exemplu va fi accelerația corpului, care demonstrează, la rândul său, rata de schimbare a vitezei.
Exemple de găsire a derivatelor în fizică
Derivatul este un indicator al ratei de schimbare a oricărei funcții, chiar și atunci când nu vorbim despre mișcare în sensul literal al cuvântului. Pentru a demonstra clar acest lucru, să luăm câteva exemple concrete. Să presupunem că puterea curentului, în funcție de timp, se modifică conform următoarei legi: I=0, 4t2. Este necesar să se găsească valoarea ratei cu care se modifică acest parametru la sfârșitul celei de-a 8-a secunde a procesului. Rețineți că valoarea dorită în sine, după cum se poate aprecia din ecuație, crește constant.
Pentru a o rezolva, trebuie să găsiți prima derivată, al cărei sens fizic a fost luat în considerare mai devreme. Aici dI / dt=0,8t. Apoi, îl găsim la t \u003d 8, obținem că rata la care se schimbă puterea curentului este de 6,4 A / c. Aici se consideră căcurentul este măsurat în amperi și, respectiv, timpul, în secunde.
Totul se schimbă
Lumea înconjurătoare vizibilă, formată din materie, suferă în mod constant schimbări, fiind în mișcare de diferite procese care au loc în ea. O varietate de parametri pot fi utilizați pentru a le descrie. Dacă sunt uniți prin dependență, atunci ele sunt scrise matematic ca o funcție care arată clar modificările lor. Și acolo unde există mișcare (sub orice formă ea este exprimată), există și un derivat, al cărui sens fizic îl luăm în considerare în acest moment.
Cu această ocazie, următorul exemplu. Să presupunem că temperatura corpului se modifică conform legii T=0, 2 t 2. Ar trebui să găsiți viteza de încălzire la sfârșitul celei de-a zecea secunde. Problema este rezolvată într-un mod similar cu cel descris în cazul precedent. Adică găsim derivata și înlocuim valoarea pentru t \u003d 10 în ea, obținem T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Aceasta înseamnă că răspunsul final este de 4 grade pe secundă, adică procesul de încălzire iar schimbarea temperaturii, măsurată în grade, are loc exact cu o astfel de viteză.
Rezolvarea problemelor practice
Desigur, în viața reală totul este mult mai complicat decât în problemele teoretice. În practică, valoarea cantităților este de obicei determinată în timpul experimentului. În acest caz, se folosesc instrumente care dau citiri în timpul măsurătorilor cu o anumită eroare. Prin urmare, în calcule, trebuie să se ocupe de valorile aproximative ale parametrilor și să recurgă la rotunjirea numerelor incomode,precum şi alte simplificări. Luând în considerare acest lucru, vom trece din nou la probleme privind semnificația fizică a derivatei, având în vedere că acestea sunt doar un fel de model matematic al celor mai complexe procese care au loc în natură.
Erupție vulcanică
Să ne imaginăm că un vulcan erupe. Cât de periculos poate fi? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie luați în considerare mulți factori. Vom încerca să găzduim unul dintre ei.
Din gura „monstrului de foc” pietrele sunt aruncate vertical în sus, având o viteză inițială din momentul în care ies spre exterior de 120 m/s. Este necesar să se calculeze ce pot atinge înălțimea maximă.
Pentru a găsi valoarea dorită, vom compune o ecuație pentru dependența înălțimii H, măsurată în metri, de alte valori. Acestea includ viteza și timpul inițial. Valoarea accelerației este considerată cunoscută și aproximativ egală cu 10 m/s2.
Derivată parțială
Acum să luăm în considerare semnificația fizică a derivatei unei funcții dintr-un unghi ușor diferit, deoarece ecuația în sine poate conține nu una, ci mai multe variabile. De exemplu, în problema anterioară, dependența înălțimii pietrelor ejectate din orificiul de ventilație al vulcanului a fost determinată nu numai de modificarea caracteristicilor de timp, ci și de valoarea vitezei inițiale. Aceasta din urmă a fost considerată o valoare constantă, fixă. Dar în alte sarcini cu condiții complet diferite, totul ar putea fi diferit. Dacă cantitățile pe care complexulfuncția, mai multe, calculele se fac după formulele de mai jos.
Semnificația fizică a derivatului frecvent ar trebui determinată ca în cazul obișnuit. Aceasta este rata la care funcția se schimbă la un anumit punct pe măsură ce parametrul variabilei crește. Se calculează în așa fel încât toate celel alte componente să fie luate ca constante, doar una este considerată variabilă. Apoi totul se întâmplă conform regulilor obișnuite.
Consilier indispensabil în multe probleme
Înțelegând sensul fizic al derivatului, nu este greu să dai exemple de rezolvare a unor probleme complicate și complexe, în care răspunsul poate fi găsit cu astfel de cunoștințe. Dacă avem o funcție care descrie consumul de combustibil în funcție de viteza mașinii, putem calcula la ce parametri ai acesteia din urmă va fi cel mai mic consumul de benzină.
În medicină, puteți prezice cum va reacționa corpul uman la un medicament prescris de un medic. Luarea medicamentului afectează o varietate de parametri fiziologici. Acestea includ modificări ale tensiunii arteriale, ale ritmului cardiac, ale temperaturii corpului și multe altele. Toate depind de doza de medicament luată. Aceste calcule ajută la prezicerea cursului tratamentului, atât în manifestări favorabile, cât și în accidente nedorite care pot afecta fatal modificările din organismul pacientului.
Fără îndoială, este important să înțelegem sensul fizic al derivatului în tehnicăprobleme, în special în inginerie electrică, electronică, proiectare și construcție.
Distanța de frânare
Să luăm în considerare următoarea problemă. Deplasându-se cu viteză constantă, mașina, apropiindu-se de pod, a fost nevoită să încetinească cu 10 secunde înainte de intrare, întrucât șoferul a observat un indicator rutier care interzicea circulația cu o viteză mai mare de 36 km/h. A încălcat șoferul regulile dacă distanța de frânare poate fi descrisă prin formula S=26t - t2?
Calculând prima derivată, găsim formula vitezei, obținem v=28 – 2t. Apoi, înlocuiți valoarea t=10 în expresia specificată.
Deoarece această valoare a fost exprimată în secunde, viteza este de 8 m/s, ceea ce înseamnă 28,8 km/h. Acest lucru face posibil să înțelegem că șoferul a început să încetinească la timp și nu a încălcat regulile de circulație și, prin urmare, limita indicată pe indicatorul de viteză.
Acest lucru demonstrează importanța semnificației fizice a derivatului. Un exemplu de rezolvare a acestei probleme demonstrează amploarea utilizării acestui concept în diverse sfere ale vieții. Inclusiv în situațiile de zi cu zi.
Derivat în economie
Până în secolul al XIX-lea, economiștii au funcționat în mare parte pe medii, fie că era vorba de productivitatea muncii sau de prețul producției. Dar de la un moment dat, valorile limită au devenit mai necesare pentru a face previziuni eficiente în acest domeniu. Acestea includ utilitatea marginală, venitul sau costul. Înțelegerea acestui lucru a dat impuls creării unui instrument complet nou în cercetarea economică,care există și s-a dezvoltat de mai bine de o sută de ani.
Pentru a face astfel de calcule, unde predomină concepte precum minim și maxim, este pur și simplu necesar să înțelegem semnificația geometrică și fizică a derivatei. Printre creatorii bazei teoretice ale acestor discipline, se pot numi economiști englezi și austrieci proeminenți precum Jevons, K. Menger și alții americani. Desigur, valorile limită în calculele economice nu sunt întotdeauna convenabile de utilizat. Și, de exemplu, rapoartele trimestriale nu se încadrează neapărat în schema existentă, dar totuși, aplicarea unei astfel de teorii în multe cazuri este utilă și eficientă.
