Dacă mișcarea liniară a corpurilor este descrisă în mecanica clasică folosind legile lui Newton, atunci caracteristicile mișcării sistemelor mecanice de-a lungul traiectoriilor circulare sunt calculate folosind o expresie specială, care se numește ecuația momentelor. Despre ce momente vorbim și care este sensul acestei ecuații? Acestea și alte întrebări sunt dezvăluite în articol.
Moment de forță
Toată lumea este conștientă de forța newtoniană, care, acționând asupra corpului, duce la conferirea lui de accelerație. Când o astfel de forță este aplicată unui obiect care este fixat pe o anumită axă de rotație, atunci această caracteristică se numește de obicei momentul de forță. Ecuația momentului forței poate fi scrisă după cum urmează:
M¯=L¯F¯
Imaginea care explică această expresie este afișată mai jos.
Aici puteți vedea că forța F¯ este îndreptată către vectorul L¯ la un unghi Φ. Se presupune că vectorul L¯ însuși este direcționat de la axa de rotație (indicată de săgeată) până la punctul de aplicareF¯.
Formula de mai sus este un produs al doi vectori, deci M¯ este, de asemenea, direcțional. Unde va fi întors momentul forței M¯? Acest lucru poate fi determinat de regula mâinii drepte (patru degete sunt îndreptate de-a lungul traiectoriei de la capătul vectorului L¯ la sfârșitul lui F¯, iar degetul mare din stânga indică direcția lui M¯).
În figura de mai sus, expresia pentru momentul forței în formă scalară va lua forma:
M=LFsin(Φ)
Dacă te uiți cu atenție la figură, poți vedea că Lsin(Φ)=d, atunci avem formula:
M=dF
Valoarea lui d este o caracteristică importantă în calcularea momentului de forță, deoarece reflectă eficiența F aplicată sistemului. Această valoare se numește pârghia de forță.
Semnificația fizică a lui M constă în capacitatea forței de a roti sistemul. Toată lumea poate simți această abilitate dacă deschid ușa de mâner, împingând-o lângă balamale sau dacă încearcă să deșurubați piulița cu o cheie scurtă și lungă.
Echilibrul sistemului
Conceptul de moment al forței este foarte util atunci când se consideră echilibrul unui sistem asupra căruia sunt acționate forțe multiple și are o axă sau un punct de rotație. În astfel de cazuri, aplicați formula:
∑iMi¯=0
Adică, sistemul va fi în echilibru dacă suma tuturor momentelor de forță aplicate acestuia este zero. Rețineți că în această formulă există un semn vectorial asupra momentului, adică atunci când rezolvați, nu trebuie să uitați să țineți cont de semnul acestuicantități. Regula general acceptată este că forța care acționează care rotește sistemul în sens invers acelor de ceasornic creează un Mi¯.
Un exemplu izbitor de probleme de acest tip sunt problemele cu echilibrul pârghiilor lui Arhimede.
Moment de impuls
Aceasta este o altă caracteristică importantă a mișcării circulare. În fizică, este descris ca produsul dintre impuls și pârghie. Ecuația impulsului arată astfel:
T¯=r¯p¯
Aici p¯ este vectorul impuls, r¯ este vectorul care leagă punctul de rotație al materialului cu axa.
Figura de mai jos ilustrează această expresie.
Aici ω este viteza unghiulară, care va apărea mai departe în ecuația momentului. Rețineți că direcția vectorului T¯ se găsește după aceeași regulă ca M¯. În figura de mai sus, direcția T¯ va coincide cu vectorul viteză unghiulară ω¯.
Semnificația fizică a lui T¯ este aceeași cu caracteristicile lui p¯ în cazul mișcării liniare, adică momentul unghiular descrie cantitatea de mișcare de rotație (energie cinetică stocată).
Moment de inerție
A treia caracteristică importantă, fără de care este imposibil să se formuleze ecuația de mișcare a unui obiect în rotație, este momentul de inerție. Apare în fizică ca rezultat al transformărilor matematice ale formulei pentru momentul unghiular al unui punct material. Să vă arătăm cum se face.
Să ne imaginăm valoareaT¯ după cum urmează:
T¯=r¯mv¯, unde p¯=mv¯
Folosind relația dintre vitezele unghiulare și cele liniare, putem rescrie această expresie după cum urmează:
T¯=r¯mr¯ω¯, unde v¯=r¯ω¯
Scrie ultima expresie după cum urmează:
T¯=r2mω¯
Valoarea r2m este momentul de inerție I pentru un punct de masă m care face o mișcare circulară în jurul unei axe la o distanță r de acesta. Acest caz special ne permite să introducem ecuația generală a momentului de inerție pentru un corp de formă arbitrară:
I=∫m (r2dm)
I este o mărime aditivă, al cărei sens constă în inerția sistemului rotativ. Cu cât eu sunt mai mare, cu atât este mai dificil să rotești corpul și este nevoie de un efort considerabil pentru a-l opri.
Ecuația momentului
Am luat în considerare trei cantități, al căror nume începe cu cuvântul „moment”. Acest lucru a fost făcut în mod intenționat, deoarece toate sunt conectate într-o singură expresie, numită ecuația cu 3 momente. Hai să-l scoatem.
Luați în considerare expresia pentru momentul unghiular T¯:
T¯=Iω¯
Aflați cum se schimbă valoarea lui T¯ în timp, avem:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Având în vedere că derivata vitezei unghiulare este egală cu cea a vitezei liniare împărțită la r și extinzând valoarea lui I, ajungem la expresia:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, unde a¯=dv¯/dt este accelerația liniară.
Rețineți că produsul dintre masă și accelerație nu este altceva decât forța externă care acționează F¯. Ca rezultat, obținem:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Am ajuns la o concluzie interesantă: modificarea momentului unghiular este egală cu momentul forței externe care acționează. Această expresie este de obicei scrisă într-o formă ușor diferită:
M¯=Iα¯, unde α¯=dω¯/dt - accelerația unghiulară.
Această egalitate se numește ecuația momentelor. Vă permite să calculați orice caracteristică a unui corp rotativ, cunoscând parametrii sistemului și amploarea impactului extern asupra acestuia.
Legea conservării T¯
Concluzia obținută în paragraful anterior indică faptul că, dacă momentul extern al forțelor este egal cu zero, atunci momentul unghiular nu se va modifica. În acest caz, scriem expresia:
T¯=const. sau I1ω1¯=I2ω2 ¯
Această formulă se numește legea conservării lui T¯. Adică, orice modificare în cadrul sistemului nu modifică momentul unghiular total.
Acest fapt este folosit de patinatorii artistici și balerinii în timpul spectacolelor lor. De asemenea, este utilizat dacă este necesar să se rotească un satelit artificial care se mișcă în spațiu în jurul axei sale.
