În matematică, funcțiile inverse sunt expresii corespunzătoare reciproc, care se transformă una în alta. Pentru a înțelege ce înseamnă acest lucru, merită să luăm în considerare un exemplu specific. Să presupunem că avem y=cos(x). Dacă luăm cosinusul din argument, atunci putem găsi valoarea lui y. Evident, pentru asta trebuie să ai x. Dar dacă jucătorul este inițial dat? Aici se ajunge la miezul problemei. Pentru a rezolva problema, este necesară utilizarea unei funcții inverse. În cazul nostru, acesta este arccosinusul.
După toate transformările, obținem: x=arccos(y).
Adică, pentru a găsi o funcție inversă uneia date, este suficient doar să exprimi un argument din ea. Dar acest lucru funcționează numai dacă rezultatul va avea o singură valoare (mai multe despre asta mai târziu).
În termeni generali, acest fapt poate fi scris astfel: f(x)=y, g(y)=x.
Definiție
Fie f o funcție al cărei domeniu este mulțimea X șiintervalul de valori este mulțimea Y. Atunci, dacă există g ale cărui domenii îndeplinesc sarcini opuse, atunci f este reversibil.
De altfel, în acest caz g este unic, ceea ce înseamnă că există exact o funcție care satisface această proprietate (nici mai mult, nici mai puțin). Atunci se numește funcție inversă, iar în scris se notează astfel: g(x)=f -1(x).
Cu alte cuvinte, ele pot fi privite ca o relație binară. Reversibilitatea are loc numai atunci când un element al setului corespunde unei valori din alta.
Nu există întotdeauna o funcție inversă. Pentru a face acest lucru, fiecare element y є Y trebuie să corespundă cu cel mult unul x є X. Atunci f se numește unu-la-unu sau injecție. Dacă f -1 aparține lui Y, atunci fiecare element al acestei mulțimi trebuie să corespundă unor x ∈ X. Funcțiile cu această proprietate se numesc surjecții. Este valabil prin definiție dacă Y este o imagine f, dar nu este întotdeauna cazul. Pentru a fi inversă, o funcție trebuie să fie atât o injecție, cât și o surjecție. Astfel de expresii se numesc bijecții.
Exemplu: funcții pătrat și rădăcină
Funcția este definită pe [0, ∞) și dată de formula f (x)=x2.
Atunci nu este injectiv, deoarece fiecare rezultat posibil Y (cu excepția lui 0) corespunde la două X-uri diferite - unul pozitiv și unul negativ, deci nu este reversibil. În acest caz, va fi imposibil să obțineți datele inițiale de la cele primite, ceea ce contraziceteorii. Va fi non-injectiv.
Dacă domeniul de definiție este limitat condiționat la valori nenegative, atunci totul va funcționa ca înainte. Atunci este bijectiv și, prin urmare, inversabil. Funcția inversă aici se numește pozitivă.
Notă la intrarea
Lăsați denumirea f -1 (x) poate deruta o persoană, dar în niciun caz nu trebuie folosită astfel: (f (x)) - 1 . Se referă la un concept matematic complet diferit și nu are nimic de-a face cu funcția inversă.
Ca regulă generală, unii autori folosesc expresii precum sin-1 (x).
Cu toate acestea, alți matematicieni cred că acest lucru poate provoca confuzie. Pentru a evita astfel de dificultăți, funcțiile trigonometrice inverse sunt adesea notate cu prefixul „arc” (din arcul latin). În cazul nostru, vorbim despre arcsinus. De asemenea, puteți vedea ocazional prefixul „ar” sau „inv” pentru alte funcții.
