Una dintre secțiunile fundamentale ale analizei matematice este calculul integral. Acoperă cel mai larg câmp de obiecte, unde prima este integrala nedefinită. Merită să o poziționăm ca o cheie, care chiar și în liceu dezvăluie un număr tot mai mare de perspective și oportunități pe care le descrie matematica superioară.
Aspect
La prima vedere, integrala pare cu totul modernă, relevantă, dar în practică se dovedește că a apărut încă din anul 1800 î. Hr. Egiptul este considerat oficial patrie, deoarece dovezile anterioare ale existenței sale nu au ajuns la noi. El, din lipsă de informații, în tot acest timp a fost poziționat pur și simplu ca un fenomen. El a confirmat încă o dată nivelul de dezvoltare a științei în rândul popoarelor acelor vremuri. În cele din urmă, au fost găsite lucrări ale matematicienilor greci antici datând din secolul al IV-lea î. Hr. Ei au descris o metodă în care a fost folosită o integrală nedefinită, a cărei esență era să găsească volumul sau aria unei figuri curbilinii (tridimensionaleși, respectiv, planuri bidimensionale). Principiul de calcul s-a bazat pe împărțirea figurii originale în componente infinitezimale, cu condiția ca volumul (aria) acestora să fie deja cunoscut. De-a lungul timpului, metoda a crescut, Arhimede a folosit-o pentru a găsi aria unei parabole. Calcule similare au fost efectuate în același timp de oamenii de știință din China antică și au fost complet independenți de omologii lor greci din știință.
Dezvoltare
Următoarea descoperire în secolul al XI-lea d. Hr. a fost opera savantului arab-„universal” Abu Ali al-Basri, care a împins limitele a ceea ce era deja cunoscut, derivând formule bazate pe integrala pentru calcularea sumelor. de rânduri și sumele puterilor de la prima la a patra, aplicând pentru aceasta metoda de inducție matematică cunoscută nouă.
Mințile timpurilor moderne admiră modul în care egiptenii antici au creat monumente arhitecturale uimitoare fără niciun dispozitiv special, cu excepția poate mâinilor lor, dar puterea minții oamenilor de știință din acea vreme nu este mai puțin un miracol? În comparație cu astăzi, viața lor pare aproape primitivă, dar soluția integralelor nedefinite a fost derivată peste tot și folosită în practică pentru dezvoltarea ulterioară.
Următorul pas a avut loc în secolul al XVI-lea, când matematicianul italian Cavalieri a dezvoltat metoda indivizibililor, care a fost preluată de Pierre Fermat. Aceste două personalități au fost cele care au pus bazele calculului integral modern, care este cunoscut în acest moment. Au conectat conceptele de diferențiere și integrare, care erau anteriortratate ca unități autonome. În general, matematica acelor vremuri era fragmentată, particulele de concluzii existau de la sine, având o sferă limitată. Calea unificării și a căutării unui teren comun era singura adevărată la acea vreme, datorită căreia analiza matematică modernă a avut ocazia să crească și să se dezvolte.
Totul s-a schimbat de-a lungul timpului, inclusiv notația integralei. În general, oamenii de știință au indicat-o prin toate mijloacele, de exemplu, Newton a folosit o pictogramă pătrată în care a plasat o funcție integrabilă sau pur și simplu a pus-o lângă ea.
Această inconsecvență a continuat până în secolul al XVII-lea, când omul de știință Gottfried Leibniz, un reper pentru întreaga teorie a analizei matematice, a introdus simbolul atât de familiar nouă. „S” alungit se bazează într-adevăr pe această literă a alfabetului latin, deoarece denotă suma antiderivatelor. Integrala și-a primit numele datorită lui Jacob Bernoulli 15 ani mai târziu.
Definiție oficială
Integrala nedefinită depinde direct de definiția antiderivatei, așa că să o luăm în considerare mai întâi.
O antiderivată este o funcție care este inversa unei derivate, în practică este numită și primitivă. În caz contrar: antiderivata unei funcții d este o funcție D a cărei derivată este egală cu v V'=v. Căutarea antiderivatei este calculul integralei nedefinite, iar acest proces în sine se numește integrare.
Exemplu:
Funcția s(y)=y3 și antiderivatul său S(y)=(y4/4).
Mulțimea tuturor antiderivatelor funcției luate în considerare este integrala nedefinită, se notează astfel: ∫v(x)dx.
Datorită faptului că V(x) este doar o antiderivată a funcției originale, are loc expresia: ∫v(x)dx=V(x) + C, unde C este o constantă. O constantă arbitrară este orice constantă, deoarece derivata ei este egală cu zero.
Proprietăți
Proprietățile pe care le are integrala nedefinită se bazează pe definiția principală și pe proprietățile derivatelor.
Să ne uităm la punctele cheie:
- integrala din derivata antiderivată este antiderivată în sine plus o constantă arbitrară С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- derivata integralei funcției este funcția originală (∫v(x)dx)'=v(x);
- constanta este scoasă de sub semnul integral ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, unde k este arbitrar;
- integrala luată din sumă este identic egală cu suma integralelor ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Din ultimele două proprietăți, putem concluziona că integrala nedefinită este liniară. Datorită acesteia, avem: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Pentru a consolida, luați în considerare exemple de rezolvare a integralelor nedefinite.
Este necesar să se găsească integrala ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Din exemplu putem concluziona:nu știi cum să rezolvi integrale nedefinite? Găsiți doar toți primitivii! Dar principiile căutării vor fi luate în considerare mai jos.
Metode și exemple
Pentru a rezolva integrala, puteți recurge la următoarele metode:
- folosiți tabelul pregătit;
- integrare pe părți;
- integrare prin schimbarea variabilei;
- aducerea sub semnul diferențial.
Mese
Cel mai simplu și mai plăcut mod. În momentul de față, analiza matematică se laudă cu tabele destul de extinse în care sunt scrise formulele de bază ale integralelor nedefinite. Cu alte cuvinte, există șabloane care au fost dezvoltate înaintea ta și pentru tine, rămâne doar să le folosești. Iată o listă cu pozițiile principale ale tabelului din care puteți deriva aproape fiecare exemplu care are o soluție:
- ∫0dy=C, unde C este o constantă;
- ∫dy=y + C, unde C este o constantă;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, unde C este o constantă și n - număr care nu este unul;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, unde C este o constantă;
- ∫eydy=ey + C, unde C este o constantă;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, unde C este o constantă;
- ∫cosydy=siny + C, unde C este o constantă;
- ∫sinydy=-cosy + C, unde C este o constantă;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, unde C este o constantă;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, unde C este o constantă;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, unde C este o constantă;
- ∫chydy=timid + C, unde C -constant;
- ∫shydy=chy + C, unde C este o constantă.
Dacă este necesar, faceți câțiva pași, aduceți integrantul într-o formă tabelară și bucurați-vă de victorie. Exemplu: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
După soluție, este clar că pentru exemplul tabelar integrandului îi lipsește un factor de 5. Îl adunăm, înmulțindu-l cu 1/5 în paralel pentru ca expresia generală să nu se schimbe.
Integrare pe părți
Luați în considerare două funcții - z(y) și x(y). Ele trebuie să fie continuu diferențiabile pe întregul domeniu de definiție. Conform uneia dintre proprietățile de diferențiere, avem: d(xz)=xdz + zdx. Integrând ambele părți ale ecuației, obținem: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Rescriind egalitatea rezultată, obținem o formulă care descrie metoda de integrare pe părți: ∫zdx=zx - ∫xdz.
De ce este nevoie? Ideea este că unele exemple pot fi simplificate, vorbind condiționat, reduc ∫zdx la ∫xdz dacă acesta din urmă este aproape de forma tabelară. De asemenea, această formulă poate fi aplicată de mai multe ori, obținând rezultate optime.
Cum se rezolvă integrale nedefinite astfel:
trebuie să calculeze ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
trebuie să calculeze ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Înlocuire variabilă
Acest principiu de rezolvare a integralelor nedefinite nu este mai puțin solicitat decât cele două anterioare, deși este mai complicat. Metoda este următoarea: fie V(x) integrala unei funcții v(x). În cazul în care integrala în sine din exemplu pare complexă, există o mare probabilitate de a fi confuz și de a lua o cale greșită de soluție. Pentru a evita acest lucru, se practică trecerea de la variabila x la z, în care expresia generală este simplificată vizual menținând în același timp dependența lui z de x.
Matematic arată astfel: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), unde x=y(z) este o substituție. Și, desigur, funcția inversă z=y-1(x) descrie pe deplin dependența și relația variabilelor. Notă importantă - diferențiala dx este în mod necesar înlocuită cu o nouă diferențială dz, deoarece înlocuirea unei variabile în integrala nedefinită implică înlocuirea acesteia peste tot, și nu doar în integrand.
Exemplu:
trebuie să găsiți ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Aplicați substituția z=(s+1)/(s2+2s-5). Atunci dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Ca rezultat, obținem următoarea expresie, care este foarte ușor de calculat:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
trebuie să găsiți integrala∫2sesdx
Pentru a rezolva, rescriem expresia sub forma următoare:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Notați cu a=2e (acest pas nu este un înlocuitor pentru argument, este încă s), aducem integrala noastră aparent complexă într-o formă tabelară elementară:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Aducerea sub semnul diferențial
În mare, această metodă de integrale nedefinite este un frate geamăn al principiului schimbării variabile, dar există diferențe în procesul de proiectare. Să aruncăm o privire mai atentă.
Dacă ∫v(x)dx=V(x) + C și y=z(x), atunci ∫v(y)dy=V(y) + C.
În acest caz, nu trebuie să uităm de banalele transformări integrale, printre care:
- dx=d(x + a), unde a este orice constantă;
- dx=(1 / a)d(ax + b), unde a este din nou o constantă, dar nu egală cu zero;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Dacă luăm în considerare cazul general când calculăm integrala nedefinită, exemplele pot fi rezumate sub formula generală w'(x)dx=dw(x).
Exemple:
trebuie să găsiți ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Ajutor online
În unele cazuri, a căror vină poate fi fie lenea, fie nevoia urgentă, puteți folosi sfaturi online sau, mai degrabă, folosiți calculatorul integral nedefinit. În ciuda întregii complexități și a disputei aparente a integralelor, soluția lor este supusă unui anumit algoritm, care se bazează pe principiul „dacă nu…, atunci…”.
Desigur, un astfel de calculator nu va stăpâni exemple deosebit de complicate, întrucât sunt cazuri în care soluția trebuie găsită artificial, introducând „forțat” anumite elemente în proces, deoarece rezultatul nu poate fi atins în mod evident. moduri. În ciuda tuturor controverselor acestei afirmații, este adevărat, deoarece matematica, în principiu, este o știință abstractă și consideră nevoia de a extinde limitele posibilităților ca sarcină principală. Într-adevăr, este extrem de dificil să se deplaseze în sus și să se dezvolte în conformitate cu teorii netede, de rulare, așa că nu ar trebui să presupunem că exemplele de rezolvare a integralelor nedefinite pe care le-am dat sunt înălțimea posibilităților. Dar să revenim la partea tehnică a lucrurilor. Măcar pentru a verifica calculele, puteți folosi serviciile în care totul a fost scris înaintea noastră. Dacă este nevoie de calcularea automată a unei expresii complexe, atunci nu se poate renunța la acestea, va trebui să recurgeți la un software mai serios. Merită să acordați atenție în primul rând mediului MatLab.
Aplicație
Soluția integralelor nedefinite la prima vedere pare complet ruptă de realitate, deoarece este greu de văzut domeniile evidente de aplicare. Într-adevăr, ele nu pot fi utilizate direct nicăieri, dar sunt considerate un element intermediar necesar în procesul de derivare a soluțiilor utilizate în practică. Deci, integrarea este inversă diferențierii, datorită căreia ea participă activ la procesul de rezolvare a ecuațiilor.
La rândul lor, aceste ecuații au un impact direct asupra soluționării problemelor mecanice, calculului traiectoriilor și conductivității termice - pe scurt, tot ceea ce alcătuiește prezentul și modelează viitorul. Integrala nedefinită, a cărei exemple le-am examinat mai sus, este banală doar la prima vedere, deoarece este baza pentru a face tot mai multe noi descoperiri.
