Metoda axiomatică este o modalitate de a construi teorii științifice care sunt deja stabilite. Se bazează pe argumente, fapte, afirmații care nu necesită dovezi sau infirmare. De fapt, această versiune de cunoaștere este prezentată sub forma unei structuri deductive, care include inițial o fundamentare logică a conținutului din fundamente - axiome.
Această metodă nu poate fi o descoperire, ci este doar un concept de clasificare. Este mai potrivit pentru predare. Baza conține prevederile inițiale, iar restul informațiilor urmează ca o consecință logică. Unde este metoda axiomatică de construire a unei teorii? Se află la baza celor mai moderne și consacrate științe.
Formarea și dezvoltarea conceptului de metodă axiomatică, definiția cuvântului
În primul rând, acest concept a apărut în Grecia Antică datorită lui Euclid. El a devenit fondatorul metodei axiomatice în geometrie. Astăzi este comună în toate științele, dar mai ales în matematică. Această metodă se formează pe baza afirmațiilor stabilite, iar teoriile ulterioare sunt derivate prin construcție logică.
Acest lucru se explică după cum urmează: există cuvinte și concepte caredefinit de alți termeni. Drept urmare, cercetătorii au ajuns la concluzia că există concluzii elementare care sunt justificate și sunt constante - de bază, adică axiome. De exemplu, atunci când demonstrează o teoremă, de obicei se bazează pe fapte care sunt deja bine stabilite și nu necesită respingere.
Cu toate acestea, înainte de asta, trebuiau să fie fundamentate. În acest proces, se dovedește că o afirmație nemotivată este luată ca o axiomă. Pe baza unui set de concepte constante se demonstrează alte teoreme. Ele formează baza planimetriei și sunt structura logică a geometriei. Axiomele stabilite în această știință sunt definite ca obiecte de orice natură. Ei, la rândul lor, au proprietăți care sunt specificate în concepte constante.
Explorare ulterioară a axiomelor
Metoda a fost considerată ideală până în secolul al XIX-lea. Mijloacele logice de căutare a conceptelor de bază nu erau studiate în acele vremuri, dar în sistemul Euclid se poate observa structura obținerii unor consecințe semnificative din metoda axiomatică. Cercetările omului de știință au arătat ideea cum să obțineți un sistem complet de cunoștințe geometrice bazat pe o cale pur deductivă. Li s-a oferit un număr relativ mic de axiome afirmate care sunt adevărate în mod demonstrat.
Meritul minților antice grecești
Euclid a dovedit multe concepte, iar unele dintre ele au fost justificate. Cu toate acestea, majoritatea atribuie aceste merite lui Pitagora, Democrit și Hipocrate. Acesta din urmă a compilat un curs complet de geometrie. Adevărat, mai târziu a ieșit în Alexandriacolecția „Început”, al cărei autor a fost Euclid. Apoi, a fost redenumit „Geometrie elementară”. După un timp, au început să-l critice pe baza unor motive:
- toate valorile au fost construite numai cu o riglă și o busolă;
- geometria și aritmetica au fost separate și demonstrate cu numere și concepte valide;
- axiome, unele dintre ele, în special postulatul al cincilea, au fost propuse pentru a fi șterse din lista generală.
Ca urmare, în secolul al XIX-lea apare geometria non-euclidiană, în care nu există un postulat obiectiv adevărat. Această acțiune a dat impuls dezvoltării ulterioare a sistemului geometric. Astfel, cercetătorii matematici au ajuns la metode de construcție deductivă.
Dezvoltarea cunoștințelor matematice bazate pe axiome
Când a început să se dezvolte un nou sistem de geometrie, s-a schimbat și metoda axiomatică. În matematică, ei au început să se îndrepte mai des către o construcție de teorie pur deductivă. Drept urmare, în logica numerică modernă a apărut un întreg sistem de dovezi, care este secțiunea principală a întregii științe. În structura matematică a început să înțeleagă necesitatea justificării.
Astfel, până la sfârșitul secolului, s-au format sarcini clare și construirea unor concepte complexe, care dintr-o teoremă complexă s-au redus la cea mai simplă afirmație logică. Astfel, geometria non-euclidiană a stimulat o bază solidă pentru existența ulterioară a metodei axiomatice, precum și pentru rezolvarea problemelor de natură generală.construcții matematice:
- consistență;
- plinătate;
- independență.
În acest proces, a apărut o metodă de interpretare care a fost dezvoltată cu succes. Această metodă este descrisă după cum urmează: pentru fiecare concept de ieșire din teorie, este stabilit un obiect matematic, a cărui totalitate se numește câmp. Afirmația despre elementele specificate poate fi falsă sau adevărată. Drept urmare, afirmațiile sunt denumite în funcție de concluzii.
Caracteristici ale teoriei interpretării
De regulă, câmpul și proprietățile sunt de asemenea luate în considerare în sistemul matematic, iar acesta, la rândul său, poate deveni axiomatic. Interpretarea dovedește afirmații în care există relativă consistență. O opțiune suplimentară este o serie de fapte în care teoria devine contradictorie.
De fapt, condiția este îndeplinită în unele cazuri. Ca urmare, se dovedește că, dacă există două concepte false sau adevărate în enunțurile uneia dintre enunțuri, atunci este considerat negativ sau pozitiv. Această metodă a fost folosită pentru a demonstra consistența geometriei lui Euclid. Folosind metoda interpretativă, se poate rezolva problema independenței sistemelor de axiome. Dacă trebuie să respingi orice teorie, atunci este suficient să demonstrezi că unul dintre concepte nu este derivat din celăl alt și este eronat.
Cu toate acestea, împreună cu declarațiile de succes, metoda are și puncte slabe. Consistența și independența sistemelor de axiome sunt rezolvate ca întrebări care obțin rezultate care sunt relative. Singura realizare importantă a interpretării estedescoperirea rolului aritmeticii ca structură în care problema consistenței se reduce la o serie de alte științe.
Dezvoltarea modernă a matematicii axiomatice
Metoda axiomatică a început să se dezvolte în munca lui Gilbert. În școala sa a fost clarificat însuși conceptul de teorie și sistem formal. Ca urmare, a apărut un sistem general, iar obiectele matematice au devenit precise. În plus, a devenit posibilă rezolvarea problemelor de justificare. Astfel, un sistem formal este construit printr-o clasă exactă, care conține subsisteme de formule și teoreme.
Pentru a construi această structură, trebuie să fii ghidat doar de comoditatea tehnică, deoarece nu au încărcătură semantică. Ele pot fi inscripționate cu semne, simboluri. Adică, de fapt, sistemul în sine este construit în așa fel încât teoria formală să poată fi aplicată în mod adecvat și complet.
Ca urmare, un anumit scop sau sarcină matematică este turnat într-o teorie bazată pe conținut faptic sau raționament deductiv. Limbajul științei numerice este transferat într-un sistem formal, în acest proces orice expresie concretă și semnificativă este determinată de formula.
Metoda de formalizare
În starea naturală a lucrurilor, o astfel de metodă va fi capabilă să rezolve probleme globale precum consistența, precum și să construiască o esență pozitivă a teoriilor matematice conform formulelor derivate. Și practic toate acestea vor fi rezolvate printr-un sistem formal bazat pe afirmații dovedite. Teoriile matematice erau în mod constant complicate de justificări șiGilbert a propus să investigheze această structură folosind metode finite. Dar acest program a eșuat. Rezultatele lui Gödel deja în secolul al XX-lea au condus la următoarele concluzii:
- consistența naturală este imposibilă din cauza faptului că aritmetica formalizată sau altă știință similară din acest sistem va fi incompletă;
- Au apărut formule nerezolvabile;
- revendicări nu pot fi demonstrate.
Judecățile adevărate și finisarea rezonabilă finită sunt considerate formalizabile. Având în vedere acest lucru, metoda axiomatică are limite și posibilități certe și clare în cadrul acestei teorii.
Rezultatele dezvoltării axiomelor în lucrările matematicienilor
În ciuda faptului că unele judecăți au fost infirmate și nu au fost dezvoltate corespunzător, metoda conceptelor constante joacă un rol semnificativ în modelarea bazelor matematicii. În plus, interpretarea și metoda axiomatică în știință au relevat rezultatele fundamentale ale consistenței, independenței enunțurilor de alegere și ipotezelor în teoria multiplă.
În abordarea problemei consecvenței, principalul lucru este să aplici nu numai conceptele consacrate. Ele trebuie, de asemenea, completate cu idei, concepte și mijloace de finisare finită. În acest caz, sunt luate în considerare diverse puncte de vedere, metode, teorii, care ar trebui să țină cont de sensul logic și de justificare.
Consistența sistemului formal indică o finisare similară a aritmeticii, care se bazează pe inducție, numărare, număr transfinit. În domeniul științific, axiomatizarea este cea mai importantăun instrument care are concepte și afirmații de nerefuzat care sunt luate ca bază.
Esența afirmațiilor inițiale și rolul lor în teorii
Evaluarea unei metode axiomatice indică faptul că o anumită structură se află în esența ei. Acest sistem este construit din identificarea conceptului de bază și a afirmațiilor fundamentale care sunt nedefinite. Același lucru se întâmplă și cu teoremele care sunt considerate originale și sunt acceptate fără dovezi. În științele naturii, astfel de afirmații sunt susținute de reguli, presupuneri, legi.
Apoi are loc procesul de fixare a bazelor de raționament stabilite. De regulă, se indică imediat că dintr-o poziție se deduce altul, iar în proces ies restul, care, în esență, coincid cu metoda deductivă.
Caracteristici ale sistemului în vremurile moderne
Sistemul axiomatic include:
- concluzii logice;
- termeni și definiții;
- afirmații și concepte parțial incorecte.
În știința modernă, această metodă și-a pierdut abstractismul. Axiomatizarea geometrică euclidiană s-a bazat pe propoziții intuitive și adevărate. Iar teoria a fost interpretată într-un mod unic, natural. Astăzi, o axiomă este o prevedere care este evidentă în sine, iar un acord, și orice acord, poate acționa ca un concept inițial care nu necesită justificare. Ca urmare, valorile originale pot fi departe de a fi descriptive. Această metodă necesită creativitate, cunoaștere a relațiilor și teoria de bază.
Principii de bază ale tragerii concluziilor
Metoda axiomatică deductiv este cunoașterea științifică, construită după o anumită schemă, care se bazează pe ipoteze corect realizate, derivând enunțuri despre fapte empirice. O astfel de concluzie este construită pe baza unor structuri logice, prin derivare dură. Axiomele sunt afirmații inițial de nerefuzat care nu necesită dovezi.
În timpul deducerii, conceptelor inițiale li se aplică anumite cerințe: consistență, completitudine, independență. După cum arată practica, prima condiție se bazează pe cunoștințe logice formale. Adică, teoria nu ar trebui să aibă semnificațiile adevărului și falsității, pentru că nu va mai avea sens și valoare.
Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci este considerată incompatibilă și orice semnificație se pierde în ea, deoarece se pierde încărcătura semantică dintre adevăr și fals. Din punct de vedere deductiv, metoda axiomatică este o modalitate de construire și fundamentare a cunoștințelor științifice.
Aplicarea practică a metodei
Metoda axiomatică de construire a cunoștințelor științifice are o aplicație practică. De fapt, acest mod influențează și are o semnificație globală pentru matematică, deși aceste cunoștințe au atins deja apogeul. Exemple de metodă axiomatică sunt următoarele:
- avioanele afine au trei afirmații și o definiție;
- teoria echivalenței are trei dovezi;
- relațiile binare sunt împărțite într-un sistem de definiții, concepte și exerciții suplimentare.
Dacă doriți să formulați sensul original, trebuie să cunoașteți natura mulțimilor și a elementelor. În esență, metoda axiomatică a stat la baza diferitelor domenii ale științei.
