Unghiurile diedrice ale piramidei și metoda de calcul a acestora

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Parametrii liniari tipici ai oricărei piramide sunt lungimile laturilor bazei sale, înălțimea, marginile laterale și apotemele. Cu toate acestea, există o altă caracteristică care este asociată cu parametrii noți - acesta este unghiul diedric. Luați în considerare în articol ce este și cum să o găsiți.

Piramida figurilor spațiale

Fiecare elev are o idee bună despre ce este în joc atunci când aude cuvântul „piramidă”. Poate fi construit geometric după cum urmează: selectați un anumit poligon, apoi fixați un punct în spațiu și conectați-l la fiecare colț al poligonului. Figura tridimensională rezultată va fi o piramidă de tip arbitrar. Poligonul care îl formează se numește bază, iar punctul de care sunt conectate toate colțurile sale este vârful figurii. Figura de mai jos arată schematic o piramidă pentagonală.

Se poate observa că suprafața sa este formată nu numai dintr-un pentagon, ci și din cinci triunghiuri. În general, numărul acestor triunghiuri va fi egal cu numărullaturile unei baze poligonale.

Unghiuri diedrice ale figurii

Când problemele geometrice sunt luate în considerare pe un plan, orice unghi este format din două drepte care se intersectează sau segmente. În spațiu, acestor unghiuri liniare se adaugă unghiuri diedrice, formate prin intersecția a două plane.

Dacă definiția marcată a unui unghi în spațiu este aplicată figurii în cauză, atunci putem spune că există două tipuri de unghiuri diedrice:

• La baza piramidei. Este format din planul bazei și oricare dintre fețele laterale (triunghi). Aceasta înseamnă că unghiurile de bază ale piramidei sunt n, unde n este numărul de laturi ale poligonului.
• Între laturi (triunghiuri). Numărul acestor unghiuri diedrice este, de asemenea, de n piese.

Rețineți că primul tip de unghiuri considerate este construit pe marginile bazei, al doilea tip - pe marginile laterale.

Cum se calculează unghiurile unei piramide?

Unghiul liniar al unui unghi diedru este măsura acestuia din urmă. Nu este ușor de calculat, deoarece fețele piramidei, spre deosebire de fețele prismei, nu se intersectează în unghi drept în cazul general. Cel mai fiabil este să calculați valorile unghiurilor diedrice folosind ecuațiile planului în formă generală.

În spațiul tridimensional, un plan este dat de următoarea expresie:

Ax + By + Cz + D=0

Unde A, B, C, D sunt numere reale. Comoditatea acestei ecuații este că primele trei numere marcate sunt coordonatele vectorului,care este perpendicular pe planul dat, adică:

n¯=[A; B; C]

Dacă sunt cunoscute coordonatele a trei puncte aparținând planului, atunci luând produsul vectorial al doi vectori construiți pe aceste puncte se pot obține coordonatele n¯. Vectorul n¯ este numit ghid pentru plan.

Conform definiției, unghiul diedric format prin intersecția a două plane este egal cu unghiul liniar dintre vectorii lor de direcție. Să presupunem că avem două plane ai căror vectori normali sunt egali:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Pentru a calcula unghiul φ dintre ele, puteți folosi proprietatea produsului scalar, apoi formula corespunzătoare devine:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Sau sub formă de coordonate:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Să arătăm cum să folosiți metoda de mai sus pentru calcularea unghiurilor diedrice atunci când rezolvați probleme geometrice.

Unghiuri ale unei piramide patruunghiulare obișnuite

Să presupunem că există o piramidă obișnuită, la baza căreia se află un pătrat cu latura de 10 cm. Înălțimea figurii este12 cm. Este necesar să se calculeze care sunt unghiurile diedrice la baza piramidei și pentru laturile acesteia.

Deoarece cifra dată în starea problemei este corectă, adică are simetrie mare, atunci toate unghiurile de la bază sunt egale între ele. Unghiurile formate de fețele laterale sunt de asemenea aceleași. Pentru a calcula unghiurile diedrice necesare, găsim vectorii de direcție pentru baze și două plane laterale. Indicați lungimea laturii bazei cu litera a și înălțimea h.

Imaginea de mai sus arată o piramidă regulată patruunghiulară. Să scriem coordonatele punctelor A, B, C și D în conformitate cu sistemul de coordonate introdus:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Acum găsim vectorii de direcție pentru planurile de bază ABC și cele două laturi ABD și BCD în conformitate cu metoda descrisă în paragraful de mai sus:

Pentru ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Pentru ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Pentru BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Acum rămâne să aplicați formula corespunzătoare pentru unghiul φ și să înlocuiți valorile laturii și înălțimii din enunțul problemei:

Unghiul dintre ABC șiABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Unghi dintre ABD și BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+) a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a) 2^{/4)))=81, 49}o

Am calculat valorile unghiurilor care trebuiau găsite în funcție de starea problemei. Formulele obținute în rezolvarea problemei pot fi folosite pentru a determina unghiurile diedrice ale piramidelor regulate patruunghiulare cu orice valori ale lui a și h.

Unghiuri ale unei piramide regulate triunghiulare

Figura de mai jos arată o piramidă a cărei bază este un triunghi regulat. Se știe că unghiul diedric dintre laturi este drept. Este necesar să se calculeze aria bazei dacă se știe că înălțimea figurii este de 15 cm.

Un unghi diedru egal cu 90^o este notat ca ABC în figură. Puteți rezolva problema folosind metoda de mai sus, dar în acest caz o vom face mai ușor. Să notăm latura triunghiului a, înălțimea figurii - h, apotema - h_b și laturacoastă - b. Acum puteți scrie următoarele formule:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Deoarece cele două triunghiuri laterale din piramidă sunt aceleași, laturile AB și CB sunt egale și sunt catetele triunghiului ABC. Să notăm lungimea lor cu x, apoi:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Echivalând ariile triunghiurilor laterale și substituind apotema în expresia corespunzătoare, avem:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Aria unui triunghi echilateral se calculează după cum urmează:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Înlocuiți valoarea înălțimii din condiția problemei, obținem răspunsul: S=584, 567 cm².