Triunghi, pătrat, hexagon - aceste figuri sunt cunoscute de aproape toată lumea. Dar nu toată lumea știe ce este un poligon obișnuit. Dar toate acestea sunt aceleași forme geometrice. Un poligon regulat este unul care are unghiuri și laturi egale. Există o mulțime de astfel de cifre, dar toate au aceleași proprietăți și li se aplică aceleași formule.
Proprietăți ale poligoanelor obișnuite
Orice poligon obișnuit, fie el un pătrat sau un octogon, poate fi înscris într-un cerc. Această proprietate de bază este adesea folosită la construirea unei figuri. În plus, un cerc poate fi înscris și într-un poligon. În acest caz, numărul punctelor de contact va fi egal cu numărul laturilor sale. Este important ca un cerc înscris într-un poligon regulat să aibă un centru comun cu el. Aceste figuri geometrice sunt supuse acelorași teoreme. Orice partea unui n-gon regulat este legată de raza R a cercului circumscris în jurul lui. De aceea, se poate calcula folosind următoarea formulă: a=2R ∙ sin180°. Prin raza cercului, puteți găsi nu numai laturile, ci și perimetrul poligonului.
Cum să găsiți numărul de laturi ale unui poligon obișnuit
Orice n-gon obișnuit constă dintr-un anumit număr de segmente egale între ele, care, atunci când sunt conectate, formează o linie închisă. În acest caz, toate colțurile figurii formate au aceeași valoare. Poligoanele sunt împărțite în simple și complexe. Primul grup include un triunghi și un pătrat. Poligoanele complexe au mai multe laturi. Acestea includ și figuri în formă de stea. Pentru poligoane regulate complexe, laturile sunt găsite prin înscrierea lor într-un cerc. Să dăm o dovadă. Desenați un poligon regulat cu un număr arbitrar de laturi n. Descrie un cerc în jurul lui. Specificați raza R. Acum imaginați-vă că este dat un n-gon. Dacă punctele unghiurilor sale se află pe un cerc și sunt egale între ele, atunci laturile pot fi găsite prin formula: a=2R ∙ sinα: 2.
Găsirea numărului de laturi ale unui triunghi regulat înscris
Un triunghi echilateral este un poligon regulat. Se aplică aceleași formule ca și pătratului și n-gonului. Un triunghi va fi considerat corect dacă are laturile de aceeași lungime. În acest caz, unghiurile sunt de 60⁰. Construiți un triunghi cu lungimea laturii dată a. Cunoscând mediana și înălțimea acesteia,puteți găsi valoarea laturilor sale. Pentru a face acest lucru, vom folosi metoda de a găsi prin formula a \u003d x: cosα, unde x este mediana sau înălțimea. Deoarece toate laturile triunghiului sunt egale, obținem a=b=c. Atunci următoarea afirmație va fi adevărată a=b=c=x: cosα. În mod similar, puteți găsi valoarea laturilor într-un triunghi isoscel, dar x va fi înălțimea dată. În același timp, ar trebui proiectat strict pe baza figurii. Deci, cunoscând înălțimea x, găsim latura a a unui triunghi isoscel folosind formula a \u003d b \u003d x: cosα. După ce ați găsit valoarea lui a, puteți calcula lungimea bazei c. Să aplicăm teorema lui Pitagora. Vom căuta valoarea jumătate a bazei c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Atunci c=2xtanα. Iată o modalitate simplă de a găsi numărul de laturi ale oricărui poligon înscris.
Calculează laturile unui pătrat înscris într-un cerc
Ca orice alt poligon regulat înscris, un pătrat are laturi și unghiuri egale. I se aplică aceleași formule ca și triunghiului. Puteți calcula laturile unui pătrat folosind valoarea diagonalei. Să luăm în considerare această metodă mai detaliat. Se știe că diagonala bisectează unghiul. Inițial, valoarea sa a fost de 90 de grade. Astfel, după împărțire, se formează două triunghiuri dreptunghiulare. Unghiurile lor de bază vor fi de 45 de grade. În consecință, fiecare latură a pătratului va fi egală, adică: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, unde e este diagonala pătratului sau baza lui triunghiul dreptunghic format după împărțire. Nu este singura calegăsirea laturilor unui pătrat. Să înscriem această figură într-un cerc. Cunoscând raza acestui cerc R, găsim latura pătratului. O vom calcula după cum urmează a4=R√2. Razele poligoanelor regulate sunt calculate prin formula R=a: 2tg (360o: 2n), unde a este lungimea laturii.
Cum se calculează perimetrul unui n-gon
Perimetrul unui n-gon este suma tuturor laturilor sale. Este ușor de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți valorile tuturor părților. Pentru unele tipuri de poligoane, există formule speciale. Ele vă permit să găsiți perimetrul mult mai rapid. Se știe că orice poligon regulat are laturile egale. Prin urmare, pentru a-i calcula perimetrul, este suficient să cunoști cel puțin unul dintre ele. Formula va depinde de numărul de laturi ale figurii. În general, arată astfel: P \u003d an, unde a este valoarea laturii și n este numărul de unghiuri. De exemplu, pentru a găsi perimetrul unui octogon obișnuit cu latura de 3 cm, trebuie să-l înmulțiți cu 8, adică P=3 ∙ 8=24 cm. Pentru un hexagon cu latura de 5 cm, calculăm după cum urmează: P=5 ∙ 6=30 cm. Și așa pentru fiecare poligon.
Găsirea perimetrului unui paralelogram, a unui pătrat și a unui romb
În funcție de câte laturi are un poligon obișnuit, se calculează perimetrul acestuia. Acest lucru face sarcina mult mai ușoară. Într-adevăr, spre deosebire de alte figuri, în acest caz nu este necesar să-i cauți toate laturile, doar una este suficientă. După același principiu, găsim perimetrul lapatrulatere, adică un pătrat și un romb. În ciuda faptului că acestea sunt cifre diferite, formula pentru ele este aceeași P=4a, unde a este latura. Să luăm un exemplu. Dacă latura unui romb sau pătrat este de 6 cm, atunci găsim perimetrul după cum urmează: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Un paralelogram are doar laturi opuse. Prin urmare, perimetrul său este găsit folosind o metodă diferită. Deci, trebuie să cunoaștem lungimea a și lățimea b a figurii. Apoi aplicăm formula P=(a + c) ∙ 2. Un paralelogram, în care toate laturile și unghiurile dintre ele sunt egale, se numește romb
Găsirea perimetrului unui triunghi echilateral și dreptunghic
Perimetrul unui triunghi echilateral regulat poate fi găsit prin formula P=3a, unde a este lungimea laturii. Dacă este necunoscut, poate fi găsit prin mediană. Într-un triunghi dreptunghic, doar două laturi sunt egale. Baza poate fi găsită prin teorema lui Pitagora. După ce devin cunoscute valorile tuturor celor trei laturi, calculăm perimetrul. Poate fi găsit prin aplicarea formulei P \u003d a + b + c, unde a și b sunt laturi egale, iar c este baza. Amintiți-vă că într-un triunghi isoscel a \u003d b \u003d a, prin urmare, a + b \u003d 2a, apoi P \u003d 2a + c. De exemplu, latura unui triunghi isoscel este de 4 cm, găsiți baza și perimetrul acestuia. Calculăm valoarea ipotenuzei folosind teorema lui Pitagora c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Acum calculăm perimetrul Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Cum să găsiți colțurile unui poligon obișnuit
Poligon obișnuitapare în viața noastră în fiecare zi, de exemplu, un pătrat, triunghi, octogon obișnuit. S-ar părea că nu este nimic mai ușor decât să construiești singur această cifră. Dar asta este doar la prima vedere. Pentru a construi orice n-gon, trebuie să cunoașteți valoarea unghiurilor sale. Dar cum le gasesti? Chiar și oamenii de știință din antichitate au încercat să construiască poligoane regulate. Au ghicit să le încadreze în cercuri. Și apoi au fost marcate pe ea punctele necesare, legate prin linii drepte. Pentru cifre simple, problema construcției a fost rezolvată. S-au obţinut formule şi teoreme. De exemplu, Euclid, în celebra sa lucrare „The Beginning” a fost angajat în rezolvarea problemelor pentru 3-, 4-, 5-, 6- și 15-gon-uri. A găsit modalități de a le construi și de a găsi unghiuri. Să vedem cum să facem asta pentru un 15-gon. Mai întâi trebuie să calculați suma unghiurilor sale interne. Este necesar să se folosească formula S=180⁰(n-2). Deci, ni se dă un 15-gon, ceea ce înseamnă că numărul n este 15. Înlocuim datele pe care le cunoaștem în formulă și obținem S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Am găsit suma tuturor unghiurilor interioare ale unui 15-gon. Acum trebuie să obținem valoarea fiecăruia dintre ele. În total sunt 15 unghiuri. Facem calculul 2340⁰: 15=156⁰. Aceasta înseamnă că fiecare unghi intern este de 156⁰, acum folosind o riglă și o busolă, puteți construi un 15-gon obișnuit. Dar cum rămâne cu n-gonurile mai complexe? Timp de secole, oamenii de știință s-au străduit să rezolve această problemă. A fost găsit abia în secolul al XVIII-lea de Carl Friedrich Gauss. El a reușit să construiască un 65537-gon. De atunci, problema este considerată oficial rezolvată complet.
Calculul unghiurilor de n-goniîn radiani
Desigur, există mai multe moduri de a găsi colțurile poligoanelor. Cel mai adesea ele sunt calculate în grade. Dar le puteți exprima și în radiani. Cum să o facă? Este necesar să procedați după cum urmează. Mai întâi, aflăm numărul de laturi ale unui poligon obișnuit, apoi scădem din acesta 2. Deci, obținem valoarea: n - 2. Înmulțim diferența găsită cu numărul n („pi”=3, 14). Acum rămâne doar să împărțim produsul rezultat la numărul de unghiuri din n-gon. Luați în considerare aceste calcule folosind exemplul aceluiași cincisprezece laturi. Deci, numărul n este 15. Aplicați formula S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Aceasta, desigur, nu este singura modalitate de a calcula unghiul în radiani. Puteți împărți pur și simplu dimensiunea unghiului în grade la numărul 57, 3. La urma urmei, atâtea grade sunt echivalente cu un radian.
Calculați valoarea unghiurilor în grade
Pe lângă grade și radiani, puteți încerca să găsiți valoarea unghiurilor unui poligon obișnuit în grad. Acest lucru se face în felul următor. Scădeți 2 din numărul total de unghiuri, împărțiți diferența rezultată la numărul de laturi ale unui poligon regulat. Înmulțim rezultatul găsit cu 200. Apropo, o astfel de unitate de măsură a unghiurilor precum grindina nu este practic utilizată.
Calculul unghiurilor externe ale n-gonilor
Pentru orice poligon obișnuit, cu excepția celui intern, puteți calcula și unghiul extern. Valoarea sa se regăsește în același mod ca și pentru alte cifre. Deci, pentru a găsi unghiul exterior al unui poligon obișnuit, aveți nevoiecunoaște semnificația interiorului. Mai mult, știm că suma acestor două unghiuri este întotdeauna de 180 de grade. Prin urmare, calculele le facem astfel: 180⁰ minus valoarea unghiului intern. Găsim diferența. Acesta va fi egal cu valoarea unghiului adiacent acestuia. De exemplu, colțul interior al unui pătrat are 90 de grade, deci unghiul exterior va fi 180⁰ - 90⁰=90⁰. După cum vedem, nu este greu să-l găsim. Unghiul exterior poate lua o valoare de la +180⁰ la -180⁰, respectiv.
