Aceste forme geometrice ne înconjoară peste tot. Poligoanele convexe pot fi naturale, cum ar fi un fagure, sau artificiale (făcute de om). Aceste figuri sunt utilizate în producția de diferite tipuri de acoperiri, în pictură, arhitectură, decorațiuni etc. Poligoanele convexe au proprietatea că toate punctele lor sunt pe aceeași parte a unei drepte care trece printr-o pereche de vârfuri adiacente ale acestei figuri geometrice. Există și alte definiții. Un poligon se numește convex dacă este situat într-un singur semiplan în raport cu orice dreaptă care conține una dintre laturile sale.
poligoane convexe
În cursul geometriei elementare, numai poligoane simple sunt întotdeauna luate în considerare. Pentru a înțelege toate proprietățile unui astfel deforme geometrice, este necesar să înțelegem natura lor. Pentru început, trebuie înțeles că orice linie se numește închisă, ale cărei capete coincid. Mai mult, figura formată de acesta poate avea o varietate de configurații. Un poligon este o linie întreruptă închisă simplă, în care legăturile învecinate nu sunt situate pe aceeași linie dreaptă. Legăturile și vârfurile sale sunt, respectiv, laturile și vârfurile acestei figuri geometrice. O polilinie simplă nu trebuie să aibă auto-intersecții.
Vârfurile unui poligon sunt numite adiacente dacă reprezintă capetele uneia dintre laturile sale. O figură geometrică care are al n-lea număr de vârfuri și, prin urmare, al n-lea număr de laturi, se numește n-gon. Linia întreruptă în sine se numește marginea sau conturul acestei figuri geometrice. Un plan poligonal sau un poligon plat se numește partea de capăt a oricărui plan delimitat de acesta. Laturile adiacente ale acestei figuri geometrice se numesc segmente ale unei linii întrerupte care emană dintr-un vârf. Ele nu vor fi adiacente dacă provin de la vârfuri diferite ale poligonului.
Alte definiții ale poligoanelor convexe
În geometria elementară, există mai multe definiții echivalente care indică poligonul numit convex. Toate aceste afirmații sunt la fel de adevărate. Un poligon este considerat convex dacă:
• fiecare segment care leagă oricare două puncte din interiorul său se află în întregime în el;
• în interiorul acestuiatoate diagonalele sale se află;
• orice unghi intern nu depășește 180°.
Un poligon împarte întotdeauna un plan în 2 părți. Una dintre ele este limitată (poate fi închisă într-un cerc), iar ceal altă este nelimitată. Prima se numește regiunea interioară, iar a doua este regiunea exterioară a acestei figuri geometrice. Acest poligon este o intersecție (cu alte cuvinte, o componentă comună) a mai multor semiplane. În plus, fiecare segment care are sfârșituri în puncte care aparțin poligonului îi aparține complet.
Soiuri de poligoane convexe
Definiția unui poligon convex nu indică faptul că există multe tipuri de ele. Și fiecare dintre ele are anumite criterii. Deci, poligoanele convexe care au un unghi interior de 180° se numesc slab convexe. O figură geometrică convexă care are trei vârfuri se numește triunghi, patru - un patrulater, cinci - un pentagon etc. Fiecare dintre n-gonurile convexe îndeplinește următoarea cerință esențială: n trebuie să fie egal sau mai mare de 3. Fiecare dintre triunghiurile sunt convexe. O figură geometrică de acest tip, în care toate vârfurile sunt situate pe același cerc, se numește înscrisă într-un cerc. Un poligon convex se numește circumscris dacă toate laturile sale din apropierea cercului îl ating. Se spune că două poligoane sunt egale numai dacă pot fi suprapuse prin suprapunere. Un poligon plan se numește plan poligonal.(parte a planului), care este limitată de această figură geometrică.
Poligoane convexe regulate
Poligoanele regulate sunt forme geometrice cu unghiuri și laturi egale. În interiorul lor există un punct 0, care se află la aceeași distanță de fiecare dintre vârfurile sale. Se numește centrul acestei figuri geometrice. Segmentele care leagă centrul de vârfurile acestei figuri geometrice se numesc apoteme, iar cele care leagă punctul 0 cu laturile se numesc raze.
Un patrulater obișnuit este un pătrat. Un triunghi echilateral se numește triunghi echilateral. Pentru astfel de cifre, există următoarea regulă: fiecare colț al unui poligon convex este 180°(n-2)/ n, unde n este numărul de vârfuri ale acestei figuri geometrice convexe.
Aria oricărui poligon obișnuit este determinată de formula:
S=ph, unde p este jumătate din suma tuturor laturilor poligonului dat și h este lungimea apotemului.
Proprietăți ale poligoanelor convexe
Poligoanele convexe au anumite proprietăți. Deci, un segment care conectează oricare 2 puncte ale unei astfel de figuri geometrice este în mod necesar situat în el. Dovada:
Să presupunem că P este un poligon convex dat. Luăm 2 puncte arbitrare, de exemplu, A, B, care aparțin lui P. Conform definiției existente a unui poligon convex, aceste puncte sunt situate pe aceeași parte a dreptei, care conține orice latură a lui P. Prin urmare, AB are și această proprietate și este conținut în P. Un poligon convex poate fi întotdeauna împărțit în mai multe triunghiuri de absolut toate diagonalele trase de la unul dintre vârfurile sale.
Unghiuri ale formelor geometrice convexe
Colțurile unui poligon convex sunt colțurile formate de laturile sale. Colțurile interne sunt situate în regiunea interioară a unei figuri geometrice date. Unghiul care este format de laturile sale care converg la un vârf se numește unghiul unui poligon convex. Unghiurile adiacente unghiurilor interne ale unei figuri geometrice date se numesc externe. Fiecare colț al unui poligon convex situat în interiorul acestuia este:
180° - x, unde x este valoarea unghiului exterior. Această formulă simplă funcționează pentru orice formă geometrică de acest tip.
În general, pentru colțurile exterioare există următoarea regulă: fiecare unghi al unui poligon convex este egal cu diferența dintre 180° și valoarea unghiului intern. Poate avea valori cuprinse între -180° și 180°. Prin urmare, când unghiul interior este de 120°, unghiul exterior va fi de 60°.
Suma unghiurilor poligoanelor convexe
Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este stabilită prin formula:
180°(n-2), unde n este numărul de vârfuri ale n-gonului.
Suma unghiurilor unui poligon convex este destul de ușor de calculat. Luați în considerare orice astfel de figură geometrică. Pentru a determina suma unghiurilor din interiorul unui poligon convex, este necesarconectați unul dintre vârfurile sale la alte vârfuri. În urma acestei acțiuni, se obțin (n-2) triunghiuri. Știm că suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna 180°. Deoarece numărul lor în orice poligon este (n-2), suma unghiurilor interioare ale unei astfel de figuri este 180° x (n-2).
Suma unghiurilor unui poligon convex, și anume oricare două unghiuri interne și externe adiacente, pentru o anumită figură geometrică convexă va fi întotdeauna egală cu 180°. Pe baza acestui lucru, puteți determina suma tuturor unghiurilor sale:
180 x n.
Suma unghiurilor interioare este 180°(n-2). Pe baza acestui fapt, suma tuturor colțurilor exterioare ale acestei cifre este stabilită prin formula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Suma unghiurilor exterioare ale oricărui poligon convex va fi întotdeauna de 360° (indiferent de numărul de laturi).
Unghiul exterior al unui poligon convex este în general reprezentat de diferența dintre 180° și valoarea unghiului interior.
Alte proprietăți ale unui poligon convex
Pe lângă proprietățile de bază ale acestor forme geometrice, au și altele care apar la manipularea lor. Deci, oricare dintre poligoane poate fi împărțit în mai multe n-gonuri convexe. Pentru a face acest lucru, este necesar să continuați fiecare dintre laturile sale și să tăiați această figură geometrică de-a lungul acestor linii drepte. De asemenea, este posibil să împărțiți orice poligon în mai multe părți convexe, astfel încât vârfurile fiecărei piese să coincidă cu toate vârfurile sale. Dintr-o astfel de figură geometrică, triunghiurile pot fi făcute foarte simplu desenând toatediagonale de la un vârf. Astfel, orice poligon poate fi în cele din urmă împărțit într-un anumit număr de triunghiuri, ceea ce se dovedește a fi foarte util în rezolvarea diverselor probleme asociate cu astfel de forme geometrice.
Perimetrul unui poligon convex
Segmentele unei linii întrerupte, numite laturile unui poligon, sunt cel mai adesea notate cu următoarele litere: ab, bc, cd, de, ea. Acestea sunt laturile unei figuri geometrice cu vârfurile a, b, c, d, e. Suma lungimilor tuturor laturilor acestui poligon convex se numește perimetrul său.
Circumferința poligonului
Poligoanele convexe pot fi înscrise și circumscrise. Un cerc care atinge toate laturile acestei figuri geometrice se numește înscris în el. Un astfel de poligon se numește circumscris. Centrul unui cerc care este înscris într-un poligon este punctul de intersecție al bisectoarelor tuturor unghiurilor dintr-o anumită figură geometrică. Aria unui astfel de poligon este:
S=pr, unde r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul poligonului dat.
Un cerc care conține vârfurile unui poligon se numește circumscris în jurul lui. Mai mult, această figură geometrică convexă se numește înscrisă. Centrul cercului, care este circumscris unui astfel de poligon, este punctul de intersecție al așa-numitelor bisectoare perpendiculare ale tuturor laturilor.
Diagonalele formelor geometrice convexe
Diagonalele unui poligon convex sunt segmente careconectați vârfuri neadiacente. Fiecare dintre ele se află în interiorul acestei figuri geometrice. Numărul de diagonale ale unui astfel de n-gon este stabilit prin formula:
N=n (n – 3)/ 2.
Numărul de diagonale ale unui poligon convex joacă un rol important în geometria elementară. Numărul de triunghiuri (K) în care este posibil să se împartă fiecare poligon convex se calculează prin următoarea formulă:
K=n – 2.
Numărul de diagonale ale unui poligon convex depinde întotdeauna de numărul vârfurilor acestuia.
Descompunerea unui poligon convex
În unele cazuri, pentru a rezolva probleme geometrice, este necesară împărțirea unui poligon convex în mai multe triunghiuri cu diagonale care nu se intersectează. Această problemă poate fi rezolvată prin derivarea unei formule specifice.
Definiția problemei: să numim o partiție propriu-zisă a unui n-gon convex în mai multe triunghiuri prin diagonale care se intersectează doar la vârfurile acestei figuri geometrice.
Rezolvare: Să presupunem că Р1, Р2, Р3 …, Pn sunt vârfuri ale acestui n-gon. Numărul Xn este numărul partițiilor sale. Să luăm în considerare cu atenție diagonala obținută a figurii geometrice Pi Pn. În oricare dintre partițiile obișnuite P1 Pn aparține unui anumit triunghi P1 Pi Pn, care are 1<i<n. Pornind de la aceasta și presupunând că i=2, 3, 4 …, n-1, obținem (n-2) grupuri de aceste partiții, care includ toate cazurile particulare posibile.
Fie i=2 un grup de partiții regulate, care conține întotdeauna diagonala Р2 Pn. Numărul de partiții care intră în el este același cu numărul de partiții(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1.
Dacă i=3, atunci acest alt grup de partiții va conține întotdeauna diagonalele Р3 Р1 și Р3 Pn. În acest caz, numărul de partiții obișnuite care sunt conținute în acest grup va coincide cu numărul de partiții ale (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Cu alte cuvinte, va fi egal cu Xn-2.
Fie i=4, apoi printre triunghiuri o partiție obișnuită va conține cu siguranță un triunghi P1 P4 Pn, căruia se va alătura patrulaterul P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Numărul de partiții regulate ale unui astfel de patrulater este X4, iar numărul de partiții ale unui (n-3)-gon este Xn-3. Pe baza celor de mai sus, putem spune că numărul total de partiții corecte conținute în acest grup este Xn-3 X4. Alte grupuri cu i=4, 5, 6, 7… vor conține Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7… partiții obișnuite.
Fie i=n-2, atunci numărul de împărțiri corecte din acest grup va fi același cu numărul de împărțiri din grupul în care i=2 (cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1).
Deoarece X1=X2=0, X3=1, X4=2…, atunci numărul tuturor partițiilor unui poligon convex este:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Exemplu:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Numărul de partiții corecte care intersectează o diagonală în interior
Când se verifică cazuri speciale, se poate ajunge laipoteza că numărul de diagonale ale n-gonurilor convexe este egal cu produsul tuturor partițiilor acestei figuri cu (n-3).
Dovada acestei presupuneri: imaginați-vă că P1n=Xn(n-3), atunci orice n-gon poate fi împărțit în (n-2)-triunghiuri. Mai mult, un (n-3)-cuadrilateral poate fi compus din ele. Odată cu aceasta, fiecare patrulater va avea o diagonală. Deoarece două diagonale pot fi desenate în această figură geometrică convexă, aceasta înseamnă că diagonale suplimentare (n-3) pot fi desenate în orice (n-3)-cuadrilaterale. Pe baza acestui fapt, putem concluziona că în orice partiție obișnuită este posibil să se deseneze (n-3) diagonale care îndeplinesc condițiile acestei probleme.
Zona poligoanelor convexe
Adesea, atunci când se rezolvă diverse probleme de geometrie elementară, devine necesară determinarea ariei unui poligon convex. Să presupunem că (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n este succesiunea de coordonate a tuturor vârfurilor învecinate ale unui poligon care nu are auto-intersecții. În acest caz, aria sa este calculată folosind următoarea formulă:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), unde (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
