Teoria probabilității funcționează cu variabile aleatorii. Pentru variabile aleatoare, există așa-numitele legi de distribuție. O astfel de lege își descrie variabila aleatoare cu completitate absolută. Cu toate acestea, atunci când se lucrează cu seturi reale de variabile aleatoare, este adesea foarte dificil să se stabilească imediat legea distribuției lor și sunt limitate la un anumit set de caracteristici numerice. De exemplu, calcularea mediei și a varianței unei variabile aleatoare este adesea foarte utilă.
De ce este nevoie
Dacă esența așteptării matematice este aproape de valoarea medie a cantității, atunci în acest caz dispersia spune cum valorile cantității noastre sunt împrăștiate în jurul acestei așteptări matematice. De exemplu, dacă am măsurat IQ-ul unui grup de oameni și dorim să examinăm rezultatele măsurătorii (eșantion), așteptarea matematică va arăta valoarea medie aproximativă a coeficientului de inteligență pentru acest grup de oameni și dacă vom calcula varianța eșantionului, vom afla cum sunt grupate rezultatele în jurul așteptării matematice: o grămadă lângă aceasta (variație mică a IQ) sau mai uniform pe întregul interval de la rezultatul minim la maxim (variație mare și undeva la mijloc - așteptare matematică).
Pentru a calcula varianța, aveți nevoie de o nouă caracteristică a unei variabile aleatoare - abaterea valorii de la valoarea matematicăîn așteptare.
Abatere
Pentru a înțelege cum să calculați varianța, trebuie mai întâi să înțelegeți abaterea. Definiția sa este diferența dintre valoarea pe care o ia o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică. În linii mari, pentru a înțelege cum este „împrăștiată” o valoare, trebuie să vă uitați la modul în care este distribuită abaterea acesteia. Adică înlocuim valoarea valorii cu valoarea abaterii acesteia de la covoraș. așteptările și explorați legea distribuției sale.
Legea de distribuție a unei variabile discrete, adică a unei variabile aleatoare care ia valori individuale, este scrisă sub forma unui tabel, unde valoarea valorii este corelată cu probabilitatea apariției acesteia. Apoi, în legea distribuției abaterii, variabila aleatoare va fi înlocuită cu formula ei, în care există o valoare (care și-a păstrat probabilitatea) și propriul mat. în așteptare.
Proprietăți ale legii distribuției abaterii unei variabile aleatoare
Am notat legea distribuției pentru abaterea unei variabile aleatoare. Din aceasta, putem extrage până acum doar o asemenea caracteristică precum așteptarea matematică. Pentru comoditate, este mai bine să luați un exemplu numeric.
Să existe o lege de distribuție a unei variabile aleatoare: X - valoare, p - probabilitate.
Calculăm așteptările matematice folosind formula și imediat abaterea.
Desenarea unui nou tabel de distribuție a abaterilor.
Calculăm așteptările și aici.
Se pare zero. Există un singur exemplu, dar așa va fi întotdeauna: nu este greu de demonstrat acest lucru în cazul general. Formula pentru așteptarea matematică a abaterii poate fi descompusă în diferența dintre așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și, oricât de strâmb ar suna, așteptările matematice ale covorașului. așteptările (recursiune, totuși), care sunt aceleași, prin urmare diferența lor va fi zero.
Acest lucru este de așteptat: la urma urmei, abaterile semnului pot fi atât pozitive, cât și negative, prin urmare, în medie, ar trebui să dea zero.
Cum se calculează varianța unui caz discret. cantități
Dacă mat. nu are rost să calculezi așteptarea abaterii, trebuie să cauți altceva. Puteți lua pur și simplu valorile absolute ale abaterilor (modulo); dar cu module, totul nu este atât de simplu, așa că abaterile sunt pătrate și apoi se calculează așteptarea lor matematică. De fapt, acesta este ceea ce se înțelege atunci când vorbesc despre cum se calculează varianța.
Adică luăm abaterile, le pătram și facem un tabel cu abaterile pătrate și probabilitățile care corespund variabilelor aleatoare. Aceasta este o nouă lege de distribuție. Pentru a calcula așteptările matematice, trebuie să adăugați produsele pătratului abaterii și probabilitatea.
Formulă mai ușoară
Cu toate acestea, articolul a început cu faptul că legea distribuției variabilei aleatoare inițiale este adesea necunoscută. Deci este nevoie de ceva mai ușor. Într-adevăr, există o altă formulă care vă permite să calculați varianța eșantionului folosind doar covorașul.în așteptare:
Dispersie - diferența dintre covoraș. așteptarea pătratului unei variabile aleatoare și, dimpotrivă, a pătratului matei acesteia. în așteptare.
Există o dovadă pentru aceasta, dar nu are sens să o prezentăm aici, deoarece nu are valoare practică (și trebuie doar să calculăm varianța).
Cum se calculează varianța unei variabile aleatoare în seria variațională
În statisticile reale, este imposibil să reflectăm toate variabilele aleatoare (deoarece, în linii mari, există, de regulă, un număr infinit de ele). Prin urmare, ceea ce intră în studiu este așa-numitul eșantion reprezentativ dintr-o anumită populație generală. Și, întrucât caracteristicile numerice ale oricărei variabile aleatorii dintr-o astfel de populație generală sunt calculate din eșantion, ele se numesc eșantion: medie eșantionului, respectiv, varianță eșantionului. Îl puteți calcula în același mod ca cel obișnuit (prin abaterile pătrate).
Cu toate acestea, o astfel de dispersie se numește părtinitoare. Formula de variație imparțială arată puțin diferit. De obicei, este necesar pentru a-l calcula.
Adăugare mică
Încă o caracteristică numerică este legată de dispersie. De asemenea, servește la evaluarea modului în care variabila aleatoare se împrăștie în jurul covorașului său. așteptări. Nu există o mare diferență în modul de calculare a varianței și a abaterii standard: cea din urmă este rădăcina pătrată a primei.
