Secvența de numere și limita ei au fost una dintre cele mai importante probleme de matematică de-a lungul istoriei acestei științe. Cunoștințe actualizate constant, noi teoreme și demonstrații formulate - toate acestea ne permit să luăm în considerare acest concept din noi poziții și din unghiuri diferite.
O secvență de numere, în conformitate cu una dintre cele mai comune definiții, este o funcție matematică, a cărei bază este mulțimea de numere naturale aranjate după un model sau altul.
Această funcție poate fi considerată definită dacă se cunoaște legea, conform căreia un număr real poate fi definit clar pentru fiecare număr natural.
Există mai multe opțiuni pentru a crea secvențe de numere.
În primul rând, această funcție poate fi definită în așa-numitul mod „explicit”, atunci când există o anumită formulă prin care fiecare dintre membrii săi poate fi determinatprin simpla înlocuire a numărului de serie în secvența dată.
A doua metodă se numește „recurente”. Esența sa constă în faptul că sunt dați primii câțiva membri ai șirului numeric, precum și o formulă recursivă specială, cu ajutorul căreia, cunoscând membrul anterior, îl puteți găsi pe următorul.
În sfârșit, cel mai general mod de a specifica secvențele este așa-numita „metodă analitică”, când fără prea multe dificultăți se poate identifica nu doar unul sau altul sub un anumit număr de serie, ci și, cunoscând mai mulți termeni consecutivi., veniți la formula generală a unei funcții date.
Secvența de numere poate fi în scădere sau în creștere. În primul caz, fiecare termen ulterior este mai mic decât cel anterior, iar în al doilea caz, dimpotrivă, este mai mare.
Avand in vedere acest subiect, este imposibil sa nu se atinga problema limitelor secventelor. Limita unei secvențe este un astfel de număr atunci când pentru orice valoare, inclusiv infinitezimală, există un număr de serie după care abaterea membrilor succesivi ai secvenței de la un punct dat în formă numerică devine mai mică decât valoarea specificată în timpul formării. din această funcție.
Conceptul de limită a unei secvențe numerice este utilizat în mod activ atunci când se efectuează anumite calcule integrale și diferențiale.
Secvențele matematice au un întreg set de destul de interesanteproprietăți.
În primul rând, orice succesiune numerică este un exemplu de funcție matematică, prin urmare, acele proprietăți care sunt caracteristice funcțiilor pot fi aplicate în siguranță la secvențe. Cel mai izbitor exemplu de astfel de proprietăți este prevederea privind serii aritmetice crescătoare și descrescătoare, care sunt unite printr-un singur concept comun - secvențe monotone.
În al doilea rând, există un grup destul de mare de secvențe care nu pot fi clasificate nici ca fiind crescătoare sau descrescătoare - acestea sunt secvențe periodice. În matematică, ele sunt considerate acele funcții în care există o așa-numită lungime a perioadei, adică de la un anumit moment (n), următoarea egalitate începe să opereze y =yn+T, unde T va fi chiar lungimea perioadei.
