Pentru mulți oameni, analiza matematică este doar un set de numere, pictograme și definiții de neînțeles, care sunt departe de viața reală. Cu toate acestea, lumea în care existăm este construită pe modele numerice, a căror identificare ajută nu numai să învățăm despre lumea din jurul nostru și să rezolvăm problemele sale complexe, ci și să simplificăm sarcinile practice de zi cu zi. Ce vrea să spună un matematician când spune că o secvență de numere converge? Acest lucru ar trebui să fie discutat mai detaliat.
Ce este un infinitezimal?
Să ne imaginăm păpuși matrioșca care se potrivesc una în ceal altă. Mărimile lor, scrise sub formă de numere, începând cu cel mai mare și terminând cu cel mai mic dintre ele, formează o succesiune. Dacă vă imaginați un număr infinit de astfel de figuri luminoase, atunci rândul rezultat va fi fantastic de lung. Aceasta este o secvență de numere convergentă. Și tinde spre zero, deoarece dimensiunea fiecărei păpuși cuibăritoare ulterioară, în scădere catastrofală, se transformă treptat în nimic. Deci este ușorpoate fi explicat: ce este infinitezimal.
Un exemplu similar ar fi un drum care duce în depărtare. Iar dimensiunile vizuale ale mașinii care se îndepărtează de observator de-a lungul ei, micșorându-se treptat, se transformă într-o pată fără formă care seamănă cu un punct. Astfel, mașina, ca un obiect, care se îndepărtează într-o direcție necunoscută, devine infinit de mică. Parametrii corpului specificat nu vor fi niciodată zero în sensul literal al cuvântului, dar tind invariabil la această valoare în limita finală. Prin urmare, această secvență converge din nou la zero.
Calculați totul picătură cu picătură
Să ne imaginăm acum o situație lumească. Medicul a prescris pacientului să ia medicamentul, începând cu zece picături pe zi și adăugând două în fiecare zi. Și așa doctorul a sugerat să se continue până când conținutul flaconului de medicament, al cărui volum este de 190 de picături, se epuizează. Din cele de mai sus rezultă că numărul acestora, programat pe zi, va fi următoarea serie de numere: 10, 12, 14 și așa mai departe.
Cum să aflați timpul necesar pentru a finaliza întregul curs și numărul de membri ai secvenței? Aici, desigur, se pot număra picăturile într-un mod primitiv. Dar este mult mai ușor, având în vedere modelul, să folosești formula pentru suma unei progresii aritmetice cu un pas d=2. Și folosind această metodă, află că numărul de membri ai seriei numerice este 10. În acest caz, a10=28. Numărul penisului indică numărul de zile de administrare a medicamentului, iar 28 corespunde numărului de picături pe care pacientul ar trebuiutilizați în ultima zi. Converge această secvență? Nu, pentru că în ciuda faptului că este limitat la 10 de jos și 28 de sus, o astfel de serie de numere nu are limită, spre deosebire de exemplele anterioare.
Care este diferența?
Să încercăm acum să clarificăm: când seria de numere se dovedește a fi o secvență convergentă. O definiție de acest fel, după cum se poate concluziona din cele de mai sus, este direct legată de conceptul de limită finită, a cărei prezență dezvăluie esența problemei. Deci, care este diferența fundamentală dintre exemplele date anterior? Și de ce în ultimul dintre ele, numărul 28 nu poate fi considerat limita seriei de numere X =10 + 2(n-1)?
Pentru a clarifica această întrebare, luați în considerare o altă succesiune dată de formula de mai jos, unde n aparține mulțimii numerelor naturale.
Această comunitate de membri este un set de fracții comune, al căror numărător este 1, iar numitorul este în continuă creștere: 1, ½ …
Mai mult, fiecare reprezentant succesiv al acestei serii se apropie din ce în ce mai mult de 0 în ceea ce privește locația pe linia numerică. Și asta înseamnă că o astfel de vecinătate apare acolo unde punctele se grupează în jurul zero, care este limita. Și cu cât sunt mai aproape de el, cu atât concentrarea lor pe linia numerică devine mai densă. Iar distanța dintre ele se reduce catastrofal, transformându-se într-una infinitezimală. Acesta este un semn că secvența converge.
SimilarAstfel, dreptunghiurile multicolore prezentate în figură, atunci când se îndepărtează în spațiu, sunt vizual mai aglomerate, în limita ipotetică transformându-se în neglijabile.
Secvențe infinit de mari
După ce am analizat definiția unei secvențe convergente, să trecem la contraexemple. Multe dintre ele sunt cunoscute omului din cele mai vechi timpuri. Cele mai simple variante de secvențe divergente sunt seria de numere naturale și pare. Ele sunt numite infinit de mari într-un mod diferit, deoarece membrii lor, în continuă creștere, se apropie din ce în ce mai mult de infinitul pozitiv.
Un astfel de exemplu poate fi, de asemenea, oricare dintre progresiile aritmetice și geometrice cu pas și, respectiv, numitor, mai mari decât zero. În plus, seriile numerice sunt considerate secvențe divergente, care nu au deloc o limită. De exemplu, X =(-2) -1.
Secvența Fibonacci
Beneficiile practice ale seriei de numere menționate anterior pentru umanitate sunt de netăgăduit. Dar există nenumărate alte exemple grozave. Una dintre ele este șirul lui Fibonacci. Fiecare dintre membrii săi, care încep cu unul, este suma celor anteriori. Primii doi reprezentanți ai săi sunt 1 și 1. Al treilea 1+1=2, al patrulea 1+2=3, al cincilea 2+3=5. În plus, după aceeași logică, urmează numerele 8, 13, 21 și așa mai departe.
Această serie de numere crește la infinit și nu arelimita finala. Dar are o altă proprietate minunată. Raportul dintre fiecare număr anterior și următorul se apropie din ce în ce mai mult în valoare de 0, 618. Aici puteți înțelege diferența dintre o secvență convergentă și divergentă, deoarece dacă faceți o serie de diviziuni parțiale primite, sistemul numeric indicat va au o limită finită egală cu 0,618.
Secvența rapoartelor Fibonacci
Seria de numere indicată mai sus este utilizată pe scară largă în scopuri practice pentru analiza tehnică a piețelor. Dar acest lucru nu se limitează la capacitățile sale, pe care egiptenii și grecii le cunoșteau și au putut să le pună în practică în timpurile străvechi. Acest lucru este dovedit de piramidele pe care le-au construit și de Partenon. La urma urmei, numărul 0,618 este un coeficient constant al secțiunii de aur, binecunoscut pe vremuri. Conform acestei reguli, orice segment arbitrar poate fi împărțit astfel încât raportul dintre părțile sale să coincidă cu raportul dintre cel mai mare dintre segmente și lungimea totală.
Să construim o serie de relații indicate și să încercăm să analizăm această secvență. Seria de numere va fi după cum urmează: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 și așa mai departe. Continuând în acest fel, ne putem asigura că limita secvenței convergente va fi într-adevăr 0,618. Totuși, este necesar să notăm și alte proprietăți ale acestei regularități. Aici numerele par să meargă la întâmplare și deloc în ordine crescătoare sau descrescătoare. Aceasta înseamnă că această secvență convergentă nu este monotonă. De ce este așa, vom discuta în continuare.
Monotonitate și limitare
Membrii seriei de numere pot scădea în mod clar odată cu creșterea numărului (dacă x1>x2>x3>…>x >…) sau în creștere (dacă x1<x263223<…<x <…). În acest caz, se spune că secvența este strict monotonă. Pot fi observate și alte modele, în care seria numerică va fi nedescrescătoare și necrescătoare (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… sau x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), atunci cel succesiv convergent este tot monoton, numai că nu în sens strict. Un bun exemplu al primei dintre aceste opțiuni este seria de numere dată de următoarea formulă.
După ce am pictat numerele acestei serii, puteți vedea că oricare dintre membrii săi, apropiindu-se la infinit de 1, nu va depăși niciodată această valoare. În acest caz, se spune că șirul convergent este mărginit. Acest lucru se întâmplă ori de câte ori există un astfel de număr pozitiv M, care este întotdeauna mai mare decât oricare dintre termenii seriei modulo. Dacă o serie de numere are semne de monotonitate și are o limită și, prin urmare, converge, atunci este în mod necesar înzestrată cu o astfel de proprietate. Și contrariul nu trebuie să fie adevărat. Acest lucru este evidențiat de teorema mărginirii pentru o secvență convergentă.
Aplicarea unor astfel de observații în practică este foarte utilă. Să dăm un exemplu specific examinând proprietățile secvenței X =n/n+1 și dovediți convergența acestuia. Este ușor de demonstrat că este monoton, deoarece (x +1 – x) este un număr pozitiv pentru orice n valori. Limita șirului este egală cu numărul 1, ceea ce înseamnă că sunt îndeplinite toate condițiile teoremei de mai sus, numită și teorema Weierstrass. Teorema privind mărginirea unei secvențe convergente spune că, dacă are o limită, atunci în orice caz se dovedește a fi mărginită. Cu toate acestea, să luăm următorul exemplu. Seria de numere X =(-1) este mărginită de jos de -1 și de sus de 1. Dar această secvență nu este monotonă, nu are limită și, prin urmare, nu converge. Adică, existența unei limite și a convergenței nu rezultă întotdeauna din limitare. Pentru ca aceasta să funcționeze, limitele inferioare și superioare trebuie să se potrivească, ca în cazul rapoartelor Fibonacci.
Numerele și legile Universului
Cele mai simple variante ale unei secvențe convergente și divergente sunt poate seria numerică X =n și X =1/n. Prima dintre ele este o serie naturală de numere. Este, după cum am menționat deja, infinit de mare. A doua secvență convergentă este mărginită, iar termenii săi sunt aproape de mărime infinitezimală. Fiecare dintre aceste formule personifică una dintre laturile Universului cu multiple fațete, ajutând o persoană să-și imagineze și să calculeze ceva de necunoscut, inaccesibil unei percepții limitate în limbajul numerelor și al semnelor.
Legile universului, de la neglijabil la incredibil de mari, exprimă, de asemenea, raportul de aur de 0,618. Oamenii de științăei cred că este baza esenței lucrurilor și este folosit de natură pentru a-și forma părțile. Relațiile dintre membrii următori și anteriori ai seriei Fibonacci, pe care le-am menționat deja, nu completează demonstrația proprietăților uimitoare ale acestei serii unice. Dacă luăm în considerare câtul împărțirii termenului anterior la următorul printr-unul, atunci obținem o serie de 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 și așa mai departe. Este interesant că această secvență limitată converge, nu este monotonă, dar raportul numerelor învecinate extreme de la un anumit membru este întotdeauna aproximativ egal cu 0,382, care poate fi folosit și în arhitectură, analiză tehnică și alte industrii.
Există și alți coeficienți interesanți ai seriei Fibonacci, toți joacă un rol deosebit în natură și sunt folosiți și de om în scopuri practice. Matematicienii sunt siguri că Universul se dezvoltă după o anumită „spirală de aur”, formată din coeficienții indicați. Cu ajutorul lor, este posibil să se calculeze multe fenomene care au loc pe Pământ și în spațiu, de la creșterea numărului anumitor bacterii până la mișcarea cometelor îndepărtate. După cum se dovedește, codul ADN respectă legi similare.
Progresie geometrică în scădere
Există o teoremă care afirmă unicitatea limitei unei secvențe convergente. Aceasta înseamnă că nu poate avea două sau mai multe limite, ceea ce este, fără îndoială, important pentru găsirea caracteristicilor sale matematice.
Să ne uităm la câtevacazuri. Orice serie numerică compusă din membrii unei progresii aritmetice este divergentă, cu excepția cazului cu pas zero. Același lucru este valabil și pentru o progresie geometrică, al cărei numitor este mai mare decât 1. Limitele unei astfel de serii numerice sunt „plus” sau „minus” infinitului. Dacă numitorul este mai mic decât -1, atunci nu există nicio limită. Sunt posibile și alte opțiuni.
Luați în considerare seria de numere dată de formula X =(1/4) -1. La prima vedere, este ușor de observat că această secvență convergentă este mărginită, deoarece este strict descrescătoare și în niciun caz nu poate lua valori negative.
Să scriem un număr dintre membrii săi la rând.
Se va dovedi: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 și așa mai departe. Sunt suficiente calcule destul de simple pentru a înțelege cât de repede scade această progresie geometrică de la numitorii 0<q<1. În timp ce numitorul termenilor crește la nesfârșit, ei înșiși devin infinitezimali. Aceasta înseamnă că limita seriei de numere este 0. Acest exemplu demonstrează încă o dată natura limitată a secvenței convergente.
Secvențe fundamentale
Augustin Louis Cauchy, un om de știință francez, a dezvăluit lumii multe lucrări legate de analiza matematică. El a dat definiții unor concepte precum diferențial, integral, limită și continuitate. El a studiat, de asemenea, proprietățile de bază ale secvențelor convergente. Pentru a înțelege esența ideilor sale,unele detalii importante trebuie rezumate.
La începutul articolului, s-a arătat că există astfel de secvențe pentru care există o vecinătate în care punctele reprezentând membrii unei anumite serii de pe linia reală încep să se grupeze, aliniindu-se din ce în ce mai mult dens. În același timp, distanța dintre ele scade pe măsură ce numărul următorului reprezentant crește, transformându-se într-unul infinit de mic. Astfel, rezultă că într-un cartier dat sunt grupați un număr infinit de reprezentanți ai unei serii date, în timp ce în afara acestuia există un număr finit al acestora. Astfel de secvențe sunt numite fundamentale.
Famosul criteriu Cauchy, creat de un matematician francez, indică clar că prezența unei astfel de proprietăți este suficientă pentru a demonstra că șirul converge. Este adevărat și invers.
Trebuie remarcat că această concluzie a matematicianului francez este în mare parte de interes pur teoretic. Aplicarea sa în practică este considerată a fi o chestiune destul de complicată, prin urmare, pentru a clarifica convergența seriei, este mult mai important să se demonstreze existența unei limite finite pentru o secvență. În caz contrar, este considerat divergent.
La rezolvarea problemelor, ar trebui să ținem cont și de proprietățile de bază ale secvențelor convergente. Acestea sunt afișate mai jos.
Sume infinite
Oameni de știință celebri ai antichității precum Arhimede, Euclid, Eudoxus au folosit sumele unor serii infinite de numere pentru a calcula lungimile curbelor, volumele corpurilorși zonele figurilor. În special, în acest fel a fost posibilă aflarea zonei segmentului parabolic. Pentru aceasta s-a folosit suma seriei numerice a unei progresii geometrice cu q=1/4. Volumele și zonele altor figuri arbitrare au fost găsite într-un mod similar. Această opțiune a fost numită metoda „epuizării”. Ideea a fost că corpul studiat, de formă complexă, a fost rupt în părți, care erau figuri cu parametri ușor de măsurat. Din acest motiv, nu a fost dificil să le calculăm suprafețele și volumele, iar apoi au adunat.
Apropo, sarcinile similare sunt foarte familiare școlarilor moderni și se găsesc în sarcinile USE. Metoda unică, găsită de strămoșii îndepărtați, este de departe cea mai simplă soluție. Chiar dacă există doar două sau trei părți în care cifra numerică este împărțită, adunarea ariilor lor este totuși suma seriei de numere.
Mult mai târziu decât oamenii de știință greci antici Leibniz și Newton, pe baza experienței predecesorilor lor înțelepți, au învățat modelele calculului integral. Cunoașterea proprietăților secvențelor le-a ajutat să rezolve ecuații diferențiale și algebrice. În prezent, teoria seriei, creată prin eforturile multor generații de oameni de știință talentați, oferă șansa de a rezolva un număr imens de probleme matematice și practice. Iar studiul secvenţelor numerice a fost principala problemă rezolvată de analiza matematică încă de la începuturile sale.
