Judecând după popularitatea cererii „Teorema lui Fermat – o scurtă demonstrație”, această problemă matematică este cu adevărat de interes pentru mulți. Această teoremă a fost formulată pentru prima dată de Pierre de Fermat în 1637 pe marginea unei copii de Aritmetică, unde a susținut că are o soluție prea mare pentru a se potrivi pe margine.
Prima dovadă de succes a fost publicată în 1995 - a fost dovada completă a teoremei lui Fermat de către Andrew Wiles. Acesta a fost descris drept „progres uluitor” și l-a determinat pe Wiles să primească Premiul Abel în 2016. Deși este descrisă relativ pe scurt, demonstrația teoremei lui Fermat a dovedit, de asemenea, o mare parte a teoremei de modularitate și a deschis noi abordări pentru numeroase alte probleme și metode eficiente de ridicare a modularității. Aceste realizări au avansat matematica cu 100 de ani în viitor. Dovada micii teoreme a lui Fermat astăzi nu esteeste ceva ieșit din comun.
Problema nerezolvată a stimulat dezvoltarea teoriei numerelor algebrice în secolul al XIX-lea și căutarea unei dovezi a teoremei de modularitate în secolul al XX-lea. Aceasta este una dintre cele mai notabile teoreme din istoria matematicii și, până la demonstrarea completă a diviziunii ultimei teoreme a lui Fermat, a fost în Cartea Recordurilor Guinness drept „cea mai dificilă problemă matematică”, una dintre caracteristicile căreia este aceea că are cel mai mare număr de dovezi nereușite.
Context istoric
Ecuația pitagoreică x2 + y2=z2 are un număr infinit de pozitive soluții întregi pentru x, y și z. Aceste soluții sunt cunoscute sub numele de trinități pitagoreice. În jurul anului 1637, Fermat a scris pe marginea cărții că ecuația mai generală a + b =cnu are soluții în numere naturale dacă n este un număr întreg mai mare decât 2. Deși Fermat însuși a pretins că are o soluție la problema sa, el nu a lăsat niciun detaliu despre demonstrarea acesteia. Dovada elementară a teoremei lui Fermat, susținută de creatorul ei, a fost mai degrabă invenția lui lăudăroasă. Cartea marelui matematician francez a fost descoperită la 30 de ani după moartea sa. Această ecuație, numită Ultima Teoremă a lui Fermat, a rămas nerezolvată în matematică timp de trei secole și jumătate.
Teorema a devenit în cele din urmă una dintre cele mai notabile probleme nerezolvate din matematică. Încercările de a demonstra acest lucru au provocat o dezvoltare semnificativă a teoriei numerelor, și odată cu trecereaultima teoremă a lui Fermat a devenit cunoscută ca o problemă nerezolvată în matematică.
O scurtă istorie a dovezilor
Dacă n=4, așa cum a demonstrat Fermat însuși, este suficient să se demonstreze teorema pentru indicii n care sunt numere prime. În următoarele două secole (1637-1839) conjectura a fost dovedită doar pentru numerele prime 3, 5 și 7, deși Sophie Germain a actualizat și a demonstrat o abordare care se aplica întregii clase de numere prime. La mijlocul secolului al XIX-lea, Ernst Kummer a extins acest lucru și a demonstrat teorema pentru toate numerele prime regulate, prin care primele neregulate au fost analizate individual. Pe baza lucrărilor lui Kummer și folosind cercetări computerizate sofisticate, alți matematicieni au reușit să extindă soluția teoremei, cu scopul de a acoperi toți exponenții principali până la patru milioane, dar dovezile pentru toți exponenții nu erau încă disponibile (adică matematicienii de obicei considerată soluția teoremei imposibilă, extrem de dificilă sau de neatins cu cunoștințele actuale).
Opera lui Shimura și Taniyama
În 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au bănuit că există o legătură între curbele eliptice și forme modulare, două ramuri foarte diferite ale matematicii. Cunoscută la acea vreme sub numele de conjectura Taniyama-Shimura-Weyl și (în cele din urmă) ca teorema de modularitate, a existat de la sine, fără nicio legătură aparentă cu ultima teoremă a lui Fermat. Ea în sine a fost considerată pe scară largă ca o teoremă matematică importantă, dar a fost considerată (ca și teorema lui Fermat) imposibil de demonstrat. La careÎn același timp, demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat (prin împărțirea și aplicarea unor formule matematice complexe) a fost realizată doar o jumătate de secol mai târziu.
În 1984, Gerhard Frey a observat o legătură evidentă între aceste două probleme anterior nerezolvate și nerezolvate. O confirmare completă a faptului că cele două teoreme erau strâns legate a fost publicată în 1986 de Ken Ribet, care s-a bazat pe o demonstrație parțială a lui Jean-Pierre Serra, care a demonstrat toate părțile, cu excepția uneia, cunoscută sub numele de „ipoteza epsilon”. Mai simplu spus, aceste lucrări ale lui Frey, Serra și Ribe au arătat că, dacă teorema modularității ar putea fi demonstrată, cel puțin pentru o clasă semistabilă de curbe eliptice, atunci mai devreme sau mai târziu ar fi descoperită și demonstrația ultimei teoreme a lui Fermat. Orice soluție care poate contrazice ultima teoremă a lui Fermat poate fi folosită și pentru a contrazice teorema modularității. Prin urmare, dacă teorema de modularitate s-a dovedit a fi adevărată, atunci prin definiție nu poate exista o soluție care să contrazică ultima teoremă a lui Fermat, ceea ce înseamnă că ar fi trebuit să fie demonstrată în curând.
Deși ambele teoreme erau probleme grele în matematică, considerate de nerezolvat, munca celor doi japonezi a fost prima sugestie despre modul în care ultima teoremă a lui Fermat putea fi extinsă și demonstrată pentru toate numerele, nu doar pentru unele. Important pentru cercetătorii care au ales tema de studiu a fost faptul că, spre deosebire de ultima teoremă a lui Fermat, teorema de modularitate a fost principala zonă activă de cercetare, pentru careau fost dezvoltate dovezi, și nu doar ciudățenie istorică, așa că timpul petrecut cu munca ei ar putea fi justificat din punct de vedere profesional. Cu toate acestea, consensul general a fost că rezolvarea conjecturei Taniyama-Shimura sa dovedit a fi inadecvată.
Ultima teoremă a fermei: dovada lui Wiles
După ce a aflat că Ribet a dovedit că teoria lui Frey este corectă, matematicianul englez Andrew Wiles, care a fost interesat de Ultima teoremă a lui Fermat încă din copilărie și are experiență în lucrul cu curbe eliptice și domenii adiacente, a decis să încerce să demonstreze Taniyama-Shimura Conjectura ca modalitate de a demonstra Ultima Teoremă a lui Fermat. În 1993, la șase ani după ce și-a anunțat obiectivul, în timp ce lucra în secret la problema rezolvării teoremei, Wiles a reușit să demonstreze o presupunere înrudită, care la rândul său l-ar ajuta să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat. Documentul lui Wiles era uriaș ca dimensiune și întindere.
Un defect a fost descoperit într-o parte a lucrării sale originale în timpul evaluării de către colegi și a necesitat încă un an de colaborare cu Richard Taylor pentru a rezolva împreună teorema. Drept urmare, dovada finală a lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat nu a întârziat să apară. În 1995, a fost publicat la o scară mult mai mică decât lucrarea matematică anterioară a lui Wiles, ilustrând faptul că el nu s-a înșelat în concluziile sale anterioare cu privire la posibilitatea de a demonstra teorema. Realizarea lui Wiles a fost mediatizată pe scară largă în presa populară și popularizată în cărți și programe de televiziune. Părțile rămase ale conjecturii Taniyama-Shimura-Weil, care au fost acum dovedite șicunoscute sub numele de teorema modularității, au fost ulterior dovedite de alți matematicieni care au construit pe lucrarea lui Wiles între 1996 și 2001. Pentru realizarea sa, Wiles a fost onorat și a primit numeroase premii, inclusiv Premiul Abel 2016.
Dovada ultimei teoreme a lui Fermat de către Wiles este un caz special de rezolvare a teoremei de modularitate pentru curbele eliptice. Cu toate acestea, acesta este cel mai faimos caz al unei operații matematice la scară atât de mare. Odată cu rezolvarea teoremei lui Ribe, matematicianul britanic a obținut și o demonstrație a ultimei teoreme a lui Fermat. Ultima teoremă a lui Fermat și teorema de modularitate au fost considerate aproape universal de nedemonstrat de către matematicienii moderni, dar Andrew Wiles a reușit să demonstreze lumii științifice că până și experții pot greși.
Wyles a anunțat pentru prima dată descoperirea sa miercuri, 23 iunie 1993, la o prelegere de la Cambridge intitulată „Forme modulare, curbe eliptice și reprezentări Galois”. Totuși, în septembrie 1993, s-a constatat că calculele sale conțineau o eroare. Un an mai târziu, pe 19 septembrie 1994, în ceea ce el ar numi „cel mai important moment al vieții sale profesionale”, Wiles a dat peste o revelație care i-a permis să stabilească soluția problemei până în punctul în care ar putea satisface criteriile matematice. comunitate.
Descrierea muncii
Dovada teoremei lui Fermat de Andrew Wiles folosește multe metode din geometria algebrică și teoria numerelor și are multe ramificații în acesteadomenii ale matematicii. El folosește, de asemenea, construcțiile standard ale geometriei algebrice moderne, cum ar fi categoria schemelor și teoria Iwasawa, precum și alte metode ale secolului al XX-lea care nu erau disponibile lui Pierre de Fermat.
Cele două articole care conțin dovezi au 129 de pagini și au fost scrise pe parcursul a șapte ani. John Coates a descris această descoperire drept una dintre cele mai mari realizări ale teoriei numerelor, iar John Conway a numit-o cea mai mare realizare matematică a secolului al XX-lea. Wiles, pentru a demonstra ultima teoremă a lui Fermat prin demonstrarea teoremei de modularitate pentru cazul special al curbelor eliptice semistabile, a dezvoltat metode puternice de ridicare a modularității și a deschis noi abordări pentru numeroase alte probleme. Pentru rezolvarea ultimei teoreme a lui Fermat, a fost numit cavaler și a primit alte premii. Când s-a știut că Wiles a câștigat premiul Abel, Academia Norvegiană de Științe a descris realizarea sa drept „o dovadă încântătoare și elementară a ultimei teoreme a lui Fermat.”
Cum a fost
Unul dintre cei care au revizuit manuscrisul original al lui Wiles cu soluția teoremei a fost Nick Katz. În cursul revizuirii sale, el i-a adresat britanicului o serie de întrebări clarificatoare care l-au determinat pe Wiles să admită că munca sa conține în mod clar o lacună. Într-o parte critică a dovezii, a fost făcută o eroare care a dat o estimare pentru ordinea unui anumit grup: sistemul Euler folosit pentru a extinde metoda Kolyvagin și Flach a fost incomplet. Totuși, greșeala nu i-a făcut munca inutilă - fiecare piesă a operei lui Wiles a fost foarte semnificativă și inovatoare în sine, la fel ca multedezvoltări și metode pe care le-a creat în cursul muncii sale și care au afectat doar o parte a manuscrisului. Cu toate acestea, această lucrare originală, publicată în 1993, nu avea cu adevărat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat.
Wyles a petrecut aproape un an încercând să redescopere o soluție a teoremei, mai întâi singur și apoi în colaborare cu fostul său student Richard Taylor, dar toate păreau a fi în zadar. Până la sfârșitul anului 1993, circulaseră zvonuri conform cărora dovada lui Wiles nu a reușit la testare, dar nu se știa cât de grav era acel eșec. Matematicienii au început să facă presiuni asupra lui Wiles pentru a-i dezvălui detaliile lucrării sale, fie că a fost făcută sau nu, astfel încât comunitatea mai largă de matematicieni să poată explora și folosi orice a fost capabil să realizeze. În loc să-și corecteze rapid greșeala, Wiles a descoperit doar aspecte suplimentare dificile în demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat și, în cele din urmă, și-a dat seama cât de dificil a fost.
Wyles afirmă că în dimineața zilei de 19 septembrie 1994, a fost pe punctul de a renunța și a renunțat și aproape că era resemnat să eșueze. Era gata să-și publice lucrarea neterminată, astfel încât alții să poată construi pe ea și să găsească unde a greșit. Matematicianul englez a decis să-și dea o ultimă șansă și a analizat teorema pentru ultima oară pentru a încerca să înțeleagă principalele motive pentru care abordarea sa nu a funcționat, când și-a dat seama brusc că abordarea Kolyvagin-Flac nu va funcționa până nu vava include, de asemenea, teoria lui Iwasawa în procesul de demonstrare, făcând-o să funcționeze.
Pe 6 octombrie, Wiles le-a cerut trei colegi (inclusiv F altins) să-și revizuiască noua lucrare, iar pe 24 octombrie 1994, a trimis două manuscrise - „Curbe eliptice modulare și ultima teoremă a lui Fermat” și „Proprietăți teoretice ale inelul unor algebre Hecke , a doua dintre care Wiles a scris împreună cu Taylor și a demonstrat că au fost îndeplinite anumite condiții pentru a justifica pasul corectat din articolul principal.
Aceste două lucrări au fost revizuite și în cele din urmă publicate ca o ediție cu text integral în Annals of Mathematics din mai 1995. Noile calcule ale lui Andrew au fost analizate pe scară largă și în cele din urmă acceptate de comunitatea științifică. În aceste lucrări, a fost stabilită teorema de modularitate pentru curbele eliptice semistabile - ultimul pas către demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat, la 358 de ani după ce a fost creată.
Istoria Marii Probleme
Rezolvarea acestei teoreme a fost considerată cea mai mare problemă din matematică de multe secole. În 1816 și în 1850, Academia Franceză de Științe a oferit un premiu pentru o demonstrație generală a ultimei teoreme a lui Fermat. În 1857, Academia i-a acordat lui Kummer 3.000 de franci și o medalie de aur pentru cercetările sale asupra numerelor ideale, deși nu a aplicat pentru premiu. Un alt premiu i-a fost oferit în 1883 de Academia de la Bruxelles.
Premiul Wolfskell
În 1908, industriașul german și matematicianul amator Paul Wolfskel a lăsat moștenire 100.000 de mărci de aur (o sumă mare pentru acea vreme)Academia de Științe din Göttingen, astfel încât acești bani să devină un premiu pentru demonstrarea completă a ultimei teoreme a lui Fermat. La 27 iunie 1908, Academia a publicat nouă reguli de atribuire. Printre altele, aceste reguli impuneau ca dovada să fie publicată într-un jurnal evaluat de colegi. Premiul urma să fie acordat la numai doi ani de la publicare. Concursul urma să expire pe 13 septembrie 2007 - la aproximativ un secol după începerea sa. Pe 27 iunie 1997, Wiles a primit premiul lui Wolfschel și apoi alți 50.000 de dolari. În martie 2016, a primit 600.000 de euro de la guvernul norvegian ca parte a Premiului Abel pentru „o dovadă uimitoare a ultimei teoreme a lui Fermat cu ajutorul conjecturii de modularitate pentru curbele eliptice semistabile, deschizând o nouă eră în teoria numerelor”. A fost triumful mondial al umilului englez.
Înainte de demonstrarea lui Wiles, teorema lui Fermat, așa cum am menționat mai devreme, a fost considerată absolut de nerezolvat timp de secole. Mii de dovezi incorecte au fost prezentate în diferite momente comitetului Wolfskell, în valoare de aproximativ 10 picioare (3 metri) de corespondență. Abia în primul an de existență a premiului (1907-1908) au fost depuse 621 de cereri susținând rezolvarea teoremei, deși până în anii 1970 numărul acestora scăzuse la aproximativ 3-4 cereri pe lună. Potrivit lui F. Schlichting, recenzentul lui Wolfschel, majoritatea dovezilor s-au bazat pe metode elementare predate în școli și au fost adesea prezentate ca „oameni cu pregătire tehnică, dar carieră nereușită”. Potrivit istoricului de matematică Howard Aves, ultimulTeorema lui Fermat a stabilit un fel de record - aceasta este teorema cu cel mai mare număr de dovezi incorecte.
Laurii fermei s-au dus la japonezi
Așa cum am menționat mai devreme, în jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au descoperit o posibilă legătură între două ramuri aparent complet diferite ale matematicii - curbele eliptice și forme modulare. Teorema de modularitate rezultată (cunoscută atunci sub numele de conjectura Taniyama-Shimura) afirmă că fiecare curbă eliptică este modulară, ceea ce înseamnă că poate fi asociată cu o formă modulară unică.
Teoria a fost inițial respinsă ca improbabilă sau foarte speculativă, dar a fost luată mai în serios atunci când teoreticianul numerelor André Weil a găsit dovezi care să susțină concluziile japoneze. Ca rezultat, ipoteza a fost adesea denumită ipoteza Taniyama-Shimura-Weil. Ea a devenit parte a programului Langlands, care este o listă de ipoteze importante care trebuie dovedite în viitor.
Chiar și după o analiză serioasă, conjectura a fost recunoscută de matematicienii moderni ca fiind extrem de dificilă, sau poate inaccesibilă pentru demonstrație. Acum această teoremă anume își așteaptă Andrew Wiles, care ar putea surprinde întreaga lume cu soluția ei.
Teorema lui Fermat: demonstrația lui Perelman
În ciuda mitului popular, matematicianul rus Grigory Perelman, cu tot geniul său, nu are nimic de-a face cu teorema lui Fermat. Ceea ce, însă, nu o diminuează cu nimic.numeroase contribuții la comunitatea științifică.
