Vector este un obiect geometric important, cu ajutorul proprietăților sale este convenabil să rezolvi multe probleme în plan și în spațiu. În acest articol, îl vom defini, vom lua în considerare principalele sale caracteristici și, de asemenea, vom arăta cum un vector din spațiu poate fi folosit pentru a defini planuri.
Ce este un vector: caz bidimensional
În primul rând, este necesar să înțelegem clar despre ce obiect vorbim. În geometrie, un segment direcționat se numește vector. Ca orice segment, este caracterizat de două elemente principale: punctele de început și de sfârșit. Coordonatele acestor puncte determină în mod unic toate caracteristicile vectorului.
Să luăm în considerare un exemplu de vector pe un plan. Pentru a face acest lucru, desenăm două axe x și y reciproc perpendiculare. Să marchem un punct arbitrar P(x, y). Dacă conectăm acest punct la origine (punctul O), și apoi specificăm direcția către P, atunci obținem vectorul OP¯ (mai târziu în articol, bara de deasupra simbolului indică faptul că luăm în considerare un vector). Desenul vectorial de pe plan este prezentat mai jos.
Aici, este afișat și un alt vector AB¯ și puteți vedea că caracteristicile sale sunt exact aceleași cu OP¯, dar se află într-o altă parte a sistemului de coordonate. Prin translația paralelă OP¯, puteți obține un număr infinit de vectori cu aceleași proprietăți.
Vector în spațiu
Toate obiectele reale care ne înconjoară sunt în spațiu tridimensional. Studiul proprietăților geometrice ale figurilor tridimensionale se ocupă de stereometria, care operează cu conceptul de vectori tridimensionali. Ele diferă de cele bidimensionale doar prin aceea că descrierea lor necesită o coordonată suplimentară, care este măsurată de-a lungul celei de-a treia axe perpendiculare x și y z.
Figura de mai jos arată un vector în spațiu. Coordonatele capătului său de-a lungul fiecărei axe sunt indicate prin segmente colorate. Începutul vectorului este situat în punctul de intersecție al tuturor celor trei axe de coordonate, adică are coordonate (0; 0; 0).
Deoarece un vector pe un plan este un caz special al unui segment direcționat spațial, vom lua în considerare doar un vector tridimensional în articol.
Coordonatele vectoriale bazate pe coordonatele cunoscute ale începutului și sfârșitului său
Să presupunem că există două puncte P(x1; y1; z1) și Q(x2; y2; z2). Cum se determină coordonatele vectorului PQ¯. În primul rând, este necesar să se convină care dintre puncte va fi începutul și care sfârșitul vectorului. În matematică, se obișnuiește să scrieți obiectul în cauză de-a lungul direcției sale, adică P este începutul, Q- sfarsit. În al doilea rând, coordonatele vectorului PQ¯ sunt calculate ca diferență între coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului, adică:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Rețineți că, prin schimbarea direcției vectorului, coordonatele acestuia își vor schimba semnul, după cum urmează:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Aceasta înseamnă PQ¯=-QP¯.
Este important să înțelegeți încă un lucru. S-a spus mai sus că în plan există un număr infinit de vectori egali cu cel dat. Acest fapt este valabil și pentru cazul spațial. De fapt, când am calculat coordonatele lui PQ¯ în exemplul de mai sus, am efectuat operația de translație paralelă a acestui vector în așa fel încât originea lui să coincidă cu originea. Vectorul PQ¯ poate fi desenat ca un segment direcționat de la origine la punctul M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Proprietăți vectoriale
Ca orice obiect de geometrie, un vector are unele caracteristici inerente care pot fi folosite pentru a rezolva probleme. Să le enumerăm pe scurt.
Modulul vectorial este lungimea segmentului direcționat. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat. Pentru vectorul PQ¯ din exemplul de mai sus, modulul este:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Modul vectorial activatplanul este calculat printr-o formulă similară, numai fără participarea celei de-a treia coordonate.
Suma și diferența vectorilor se efectuează conform regulii triunghiului. Figura de mai jos arată cum să adăugați și să scădeți aceste obiecte.
Pentru a obține vectorul sumă, adăugați începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Vectorul dorit va începe la începutul primului și se va termina la sfârșitul celui de-al doilea.
Diferenta se realizeaza tinand cont de faptul ca vectorul scazut este inlocuit cu cel opus, iar apoi se realizeaza operatia de adunare descrisa mai sus.
Pe lângă adunare și scădere, este important să poți înmulți un vector cu un număr. Dacă numărul este egal cu k, atunci se obține un vector al cărui modul este de k ori diferit de cel inițial, iar direcția este fie aceeași (k>0), fie opusă celei inițiale (k<0).
Este definită și operația de multiplicare a vectorilor între ei. Vom evidenția un paragraf separat pentru aceasta în articol.
Înmulțirea scalară și vectorială
Să presupunem că există doi vectori u¯(x1; y1; z1) și v¯(x2; y2; z2). Vector cu vector poate fi multiplicat în două moduri diferite:
- Scalar. În acest caz, rezultatul este un număr.
- Vector. Rezultatul este un vector nou.
Produsul scalar al vectorilor u¯ și v¯ se calculează după cum urmează:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Unde α este unghiul dintre vectorii dați.
Se poate demonstra că cunoscând coordonatele u¯ și v¯, produsul lor punctual poate fi calculat folosind următoarea formulă:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Produsul scalar este convenabil de utilizat atunci când se descompune un vector în două segmente direcționate perpendicular. De asemenea, este folosit pentru a calcula paralelismul sau ortogonalitatea vectorilor și pentru a calcula unghiul dintre ei.
Produsul încrucișat al u¯ și v¯ dă un nou vector care este perpendicular pe cei inițiali și are modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Direcția în jos sau în sus a noului vector este determinată de regula mâinii drepte (patru degete ale mâinii drepte sunt îndreptate de la sfârșitul primului vector până la sfârșitul celui de-al doilea, iar degetul mare se ridică în sus indică direcția noului vector). Figura de mai jos arată rezultatul produsului încrucișat pentru a¯ și b¯ arbitrare.
Produsul încrucișat este folosit pentru a calcula ariile figurilor, precum și pentru a determina coordonatele unui vector perpendicular pe un plan dat.
Vectorii și proprietățile lor sunt convenabile de utilizat atunci când definiți ecuația unui plan.
Ecuația normală și generală a planului
Există mai multe moduri de a defini un avion. Una dintre ele este derivarea ecuației generale a planului, care decurge direct din cunoașterea vectorului perpendicular pe acesta și a unui punct cunoscut care aparține planului.
Să presupunem că există un vector n¯ (A; B; C) și un punct P (x0; y0; z 0). Ce condiție va îndeplini toate punctele Q(x; y; z) ale planului? Această condiție constă în perpendicularitatea oricărui vector PQ¯ la normala n¯. Pentru doi vectori perpendiculari, produsul scalar devine zero (cos(90o)=0), scrieți astfel:
(n¯PQ¯)=0 sau
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Deschizând parantezele, obținem:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 sau
Ax + By + Cz +D=0 unde D=-Ax0-By0-Cz0.
Această ecuație se numește generală pentru plan. Vedem că coeficienții din fața lui x, y și z sunt coordonatele vectorului perpendicular n¯. Se numește ghid de avion.
Ecuația parametrică vectorială a planului
A doua modalitate de a defini un plan este de a folosi doi vectori care se află în el.
Să presupunem că există vectori u¯(x1; y1; z1) și v¯(x2; y2; z2). După cum sa spus, fiecare dintre ele în spațiu poate fi reprezentat printr-un număr infinit de segmente direcționate identice, prin urmare, este nevoie de încă un punct pentru a determina unic planul. Fie acest punct P(x0;y0; z0). Orice punct Q(x; y; z) se va afla în planul dorit dacă vectorul PQ¯ poate fi reprezentat ca o combinație de u¯ și v¯. Adică avem:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Unde α și β sunt numere reale. Din această egalitate rezultă expresia:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Se numește ecuație vectorială parametrică a planului în raport cu 2 vectori u¯ și v¯. Înlocuind parametrii arbitrari α și β, se pot găsi toate punctele (x; y; z) aparținând acestui plan.
Din această ecuație este ușor să obțineți expresia generală pentru plan. Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți vectorul direcție n¯, care va fi perpendicular pe ambii vectori u¯ și v¯, adică trebuie aplicat produsul lor vectorial.
Problema determinării ecuației generale a planului
Să arătăm cum să folosim formulele de mai sus pentru a rezolva probleme geometrice. Să presupunem că vectorul de direcție al planului este n¯(5; -3; 1). Ar trebui să găsiți ecuația planului, știind că punctul P(2; 0; 0) îi aparține.
Ecuația generală se scrie ca:
Ax + By + Cz +D=0.
Deoarece vectorul perpendicular pe plan este cunoscut, ecuația va lua forma:
5x - 3y + z +D=0.
Rămâne de găsit termenul liber D. Îl calculăm din cunoașterea coordonatelor P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Astfel, ecuația dorită a planului are forma:
5x - 3y + z -10=0.
Figura de mai jos arată cum arată avionul rezultat.
Coordonatele indicate ale punctelor corespund intersecțiilor planului cu axele x, y și z.
Problema determinării planului prin doi vectori și un punct
Acum să presupunem că planul anterior este definit diferit. Sunt cunoscuți doi vectori u¯(-2; 0; 10) și v¯(-2; -10/3; 0), precum și punctul P(2; 0; 0). Cum se scrie ecuația plană în formă parametrică vectorială? Folosind formula corespunzătoare considerată, obținem:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Rețineți că definițiile acestei ecuații a planului, vectorii u¯ și v¯ pot fi luate absolut orice, dar cu o condiție: nu trebuie să fie paraleli. În caz contrar, planul nu poate fi determinat în mod unic, totuși, se poate găsi o ecuație pentru un fascicul sau un set de plane.
