Pentru a spune simplu și pe scurt, domeniul de aplicare sunt valorile pe care le poate lua orice funcție. Pentru a explora pe deplin acest subiect, trebuie să dezasamblați treptat următoarele puncte și concepte. Mai întâi, să înțelegem definiția funcției și istoricul apariției acesteia.
Ce este o funcție
Toate științele exacte ne oferă multe exemple în care variabilele în cauză depind într-un fel unele de altele. De exemplu, densitatea unei substanțe este complet determinată de masa și volumul acesteia. Presiunea unui gaz ideal la volum constant variază în funcție de temperatură. Aceste exemple sunt unite de faptul că toate formulele au dependențe între variabile, care sunt numite funcționale.
O funcție este un concept care exprimă dependența unei cantități de alta. Are forma y=f(x), unde y este valoarea funcției, care depinde de x - argument. Astfel, putem spune că y este o variabilă dependentă de valoarea lui x. Valorile pe care x le poate lua împreună suntdomeniul funcției date (D(y) sau D(f)) și, în consecință, valorile lui y constituie mulțimea valorilor funcției (E(f) sau E(y)). Există cazuri când o funcție este dată de o formulă. În acest caz, domeniul de definiție constă din valoarea unor astfel de variabile, în care notația cu formula are sens.
Există funcții care se potrivesc sau sunt egale. Acestea sunt două funcții care au intervale egale de valori valide, precum și valorile funcției în sine sunt egale pentru toate aceleași argumente.
Multe legi ale științelor exacte sunt numite similar situațiilor din viața reală. Există un fapt atât de interesant și despre funcția matematică. Există o teoremă despre limita unei funcții „sandwich” între altele două care au aceeași limită – despre doi polițiști. Ei explică astfel: deoarece doi polițiști conduc un prizonier într-o celulă dintre ei, criminalul este forțat să meargă acolo și pur și simplu nu are de ales.
Referință istorică caracteristică
Conceptul de funcție nu a devenit imediat definitiv și precis, a trecut printr-un drum lung de a deveni. În primul rând, Introducerea și studiul locurilor plane și solide ale lui Fermat, publicată la sfârșitul secolului al XVII-lea, a afirmat următoarele:
De câte ori există două necunoscute în ecuația finală, există loc.
În general, această lucrare vorbește despre dependența funcțională și despre imaginea sa materială (loc=linie).
De asemenea, cam în aceeași perioadă, Rene Descartes a studiat liniile prin ecuațiile lor în lucrarea sa „Geometrie” (1637), unde din nou faptuldependența a două cantități una față de alta.
Însasi mențiunea termenului „funcție” a apărut abia la sfârșitul secolului al XVII-lea cu Leibniz, dar nu și în interpretarea sa modernă. În lucrările sale științifice, el a considerat că o funcție reprezintă diferite segmente asociate cu o linie curbă.
Dar deja în secolul al XVIII-lea, funcția a început să fie definită mai corect. Bernoulli a scris următoarele:
O funcție este o valoare compusă dintr-o variabilă și o constantă.
Gândurile lui Euler erau, de asemenea, aproape de asta:
O funcție de cantitate variabilă este o expresie analitică formată într-un fel din această cantitate variabilă și numere sau cantități constante.
Când unele cantități depind de altele în așa fel încât atunci când acestea din urmă se schimbă, ele însele se schimbă, atunci primele sunt numite funcții ale celei din urmă.
Grafic de funcții
Graficul funcției este format din toate punctele aparținând axelor planului de coordonate, ale căror abscise iau valorile argumentului, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ordonate.
Sfera de aplicare a unei funcții este direct legată de graficul acesteia, deoarece dacă orice abscisă este exclusă de intervalul de valori valide, atunci trebuie să desenați puncte goale pe grafic sau să desenați graficul în anumite limite. De exemplu, dacă se ia un grafic de forma y=tgx, atunci valoarea x=pi / 2 + pin, n∉R este exclusă din zona de definiție, în cazul unui grafic tangent, trebuie să desenațilinii verticale paralele cu axa y (se numesc asimptote) care trec prin punctele ±pi/2.
Orice studiu amănunțit și atent al funcțiilor constituie o ramură mare a matematicii numită calcul. În matematica elementară, întrebările elementare despre funcții sunt, de asemenea, atinse, de exemplu, construirea unui grafic simplu și stabilirea unor proprietăți de bază ale unei funcții.
Ce funcție poate fi setată la
Funcția poate:
- fie o formulă, de exemplu: y=cos x;
- set de orice tabel de perechi de forma (x; y);
- au imediat o vizualizare grafică, pentru aceasta perechile de la articolul anterior al formularului (x; y) trebuie afișate pe axele de coordonate.
Aveți grijă când rezolvați unele probleme de nivel în alt, aproape orice expresie poate fi considerată o funcție în raport cu un argument pentru valoarea funcției y (x). Găsirea domeniului definiției în astfel de sarcini poate fi cheia soluției.
Care este domeniul de aplicare?
Primul lucru pe care trebuie să-l știi despre o funcție pentru a o studia sau a construi este domeniul de aplicare. Graficul ar trebui să conțină numai acele puncte în care funcția poate exista. Domeniul definiției (x) poate fi denumit și domeniul valorilor acceptabile (abreviat ca ODZ).
Pentru a construi corect și rapid un grafic de funcții, trebuie să cunoașteți domeniul acestei funcții, deoarece aspectul graficului și fidelitatea depind de elconstructie. De exemplu, pentru a construi o funcție y=√x, trebuie să știți că x poate lua numai valori pozitive. Prin urmare, este construit numai în primul cadran de coordonate.
Domeniul de aplicare al exemplului de funcții elementare
În arsenalul său, matematica are un număr mic de funcții simple, definite. Au un domeniu limitat. Soluția la această problemă nu va cauza dificultăți chiar dacă aveți o așa-numită funcție complexă în fața dvs. Este doar o combinație a mai multor elemente simple.
- Deci, funcția poate fi fracțională, de exemplu: f(x)=1/x. Astfel, variabila (argumentul nostru) se află la numitor și toată lumea știe că numitorul unei fracții nu poate fi egal cu 0, prin urmare, argumentul poate lua orice valoare cu excepția 0. Notația va arăta astfel: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Dacă există o expresie cu o variabilă în numitor, atunci trebuie să rezolvați ecuația pentru x și să excludeți valorile care transformă numitorul la 0. Pentru o reprezentare schematică, sunt suficiente 5 puncte bine alese. Graficul acestei funcții va fi o hiperbolă cu o asimptotă verticală care trece prin punctul (0; 0) și, în combinație, axele Ox și Oy. Dacă imaginea grafică se intersectează cu asimptotele, atunci o astfel de eroare va fi considerată cea mai grosolană.
- Dar care este domeniul rădăcinii? Domeniul unei funcții cu expresie radicală (f(x)=√(2x + 5)), care conține o variabilă, are și ele nuanțe proprii (se aplică doar rădăcinii unui grad par). La fel derădăcina aritmetică este o expresie pozitivă sau egală cu 0, atunci expresia rădăcinii trebuie să fie mai mare sau egală cu 0, rezolvăm următoarea inegalitate: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, prin urmare, domeniul acestui funcția: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Graficul este una dintre ramurile unei parabole, rotită cu 90 de grade, situată în primul cadran de coordonate.
- Dacă avem de-a face cu o funcție logaritmică, atunci trebuie să rețineți că există o restricție în ceea ce privește baza logaritmului și expresia sub semnul logaritmului, în acest caz puteți găsi domeniul de definiție ca urmează. Avem o funcție: y=loga(x + 7), rezolvăm inegalitatea: x + 7 > 0, x > -7. Atunci domeniul acestei funcții este D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- De asemenea, acordați atenție funcțiilor trigonometrice de forma y=tgx și y=ctgx, deoarece y=tgx=sinx/cos/x și y=ctgx=cosx/sinx, prin urmare, trebuie să excludeți valorile la care numitorul poate fi egal cu zero. Dacă sunteți familiarizat cu graficele funcțiilor trigonometrice, înțelegerea domeniului lor este o sarcină simplă.
Cum este lucrul cu funcțiile complexe diferite
Amintiți-vă câteva reguli de bază. Dacă lucrăm cu o funcție complexă, atunci nu este nevoie să rezolvăm ceva, să simplificăm, să adunăm fracții, să reducem la cel mai mic numitor comun și să extragem rădăcini. Trebuie să investigăm această funcție, deoarece operațiuni diferite (chiar identice) pot schimba domeniul de aplicare al funcției, rezultând un răspuns incorect.
De exemplu, avem o funcție complexă: y=(x2 - 4)/(x - 2). Nu putem reduce numărătorul și numitorul fracției, deoarece acest lucru este posibil numai dacă x ≠ 2, iar aceasta este sarcina de a găsi domeniul funcției, deci nu factorăm numărătorul și nu rezolvăm nicio inegalități, deoarece valoare la care funcția nu există, vizibilă cu ochiul liber. În acest caz, x nu poate lua valoarea 2, deoarece numitorul nu poate merge la 0, notația va arăta astfel: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Funcții reciproce
Pentru început, merită spus că o funcție poate deveni reversibilă doar la un interval de creștere sau scădere. Pentru a găsi funcția inversă, trebuie să schimbați x și y în notație și să rezolvați ecuația pentru x. Domeniile de definiție și domeniile de valoare sunt pur și simplu inversate.
Condiția principală pentru reversibilitate este un interval monoton al unei funcții, dacă o funcție are intervale de creștere și descreștere, atunci este posibil să se compună funcția inversă a oricărui interval (crescător sau descrescător).
De exemplu, pentru funcția exponențială y=exreciproca este funcția logaritmică naturală y=logea=lna. Pentru trigonometrie, acestea vor fi funcții cu prefixul arc-: y=sinx și y=arcsinx și așa mai departe. Graficele vor fi plasate simetric în raport cu unele axe sau asimptote.
Concluzii
Căutarea intervalului de valori acceptabile se reduce la examinarea graficului funcțiilor (dacă există unul),înregistrarea și rezolvarea sistemului specific necesar de inegalități.
Așadar, acest articol v-a ajutat să înțelegeți pentru ce este scopul unei funcții și cum să o găsiți. Sperăm că vă va ajuta să înțelegeți bine cursul școlar de bază.
