În articolul adus în atenție, vă oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele dintre sarcinile asociate modelării matematice.
Încă una dintre întrebările noastre este despre modelele matematice din economie, exemple, a căror definiție o vom analiza puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea acestora și să trecem la întrebările noastre principale.
Conceptul de „model”
Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:
- un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici și așa mai departe, ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în diferite forme: mental, descriere folosind semne, și așa mai departe);
- înseamnă, de asemenea, afișarea oricărei situații specifice, de viață saumanagerial;
- modelul poate servi ca o copie redusă a oricărui obiect (sunt create pentru un studiu și analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).
Modelul
Pe tot ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați în detaliu un sistem sau un obiect complex.
Toate modelele pot fi clasificate în funcție de un număr de criterii:
- după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, jocuri, simulare);
- după dinamică (static și dinamic);
- pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
- cu titlu de prezentare (material și informativ).
Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în semne și verbale. Și iconic - pe computer și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor de model matematic.
Model matematic
După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă unele caracteristici ale unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela tiparele lumii înconjurătoare în propriul limbaj specific.
Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Impulsul dezvoltării acestei metode de modelare a fost însă dat de apariția calculatoarelor (calculatoare electronice).
Acum să trecem la clasificare. Poate fi efectuată și după unele semne. Suntsunt prezentate în tabelul de mai jos.
| Clasificare după ramură de știință | Aplicarea modelelor matematice în fizică, sociologie, chimie și așa mai departe |
| Conform aparatului matematic folosit în procesul de modelare | Modele bazate pe ecuații diferențiale, transformări algebrice discrete și altele asemenea |
| Prin modelarea obiectivelor | Conform acestui principiu, există modele descriptive, de optimizare, multicriteriale, de joc și de simulare |
Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă la ultima clasificare, deoarece reflectă tiparele generale de modelare și obiectivele modelelor create.
Modele descriptive
În acest capitol, ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, va fi dat un exemplu.
Pentru început, această vizualizare poate fi numită descriptivă. Acest lucru se datorează faptului că facem doar calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.
Un exemplu izbitor de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, vitezei, distanței față de Pământ a unei comete care a invadat vastitatea sistemului nostru solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze asupra unui fel de pericol. Influențează rezultatul evenimentului, din păcate, noi nuPoate sa. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a salva viața pe Pământ.
Modele de optimizare
Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot fi situații diferite. În acest caz, vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului potrivit în anumite condiții. Trebuie să aibă niște parametri. Pentru a fi foarte clar, luați în considerare un exemplu din partea agricolă.
Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem regimul potrivit de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.
Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, acesta este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluției optime într-o anumită situație economică. Am luat în considerare un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să adaug: acest tip aparține clasei problemelor extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.
Rețineți încă o nuanță: modelele pot fi de natură diferită (vezi tabelul de mai jos).
| determinist | În acest caz, rezultatul depinde de datele de intrare |
| stochastic | Descrierea proceselor aleatorii. În acest caz, rezultatul rămâne nedefinit |
Modele cu criterii multiple
Acum vă invităm să vorbiți puțin despremodel matematic de optimizare multiobiectivă. Înainte de asta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces în funcție de un singur criteriu, dar ce se întâmplă dacă sunt multe?
Un exemplu izbitor de sarcină multicriterială este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice pentru grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini se găsesc adesea în armată, cantine școlare, tabere de vară, spitale și așa mai departe.
Ce criterii ni se oferă în această problemă?
- Mâncarea ar trebui să fie sănătoasă.
- Cheltuielile pentru alimente ar trebui reduse la minimum.
După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că atunci când rezolvați o problemă este necesar să căutați soluția optimă, un echilibru între două criterii.
Modele de jocuri
Vorbind de modele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Trebuie doar să știți că, spre deosebire de un conflict real, modelul matematic al jocului are propriile reguli specifice.
Acum vor exista un minim de informații din teoria jocurilor care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și așa, în model există neapărat petreceri (două sau mai multe), care de obicei se numesc jucători.
Toate modelele au anumite caracteristici.
| subiecte | Numărul de jucători |
| Strategy | Opțiuni pentru acțiuni posibile |
| Plată | Rezultatul conflictului (câștigă sau pierde). |
Modelul de joc poate fi asociat sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche, dacă mai mult - multiplu. Se poate distinge și un joc antagonist, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuil alt.
Modele de simulare
În această secțiune, vom acorda atenție modelelor matematice de simulare. Exemple de sarcini sunt:
- model al dinamicii numărului de microorganisme;
- model al mișcării moleculelor și așa mai departe.
În acest caz, vorbim de modele cât mai apropiate de procesele reale. În mare, ei imită orice manifestare din natură. În primul caz, de exemplu, putem modela dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În acest caz, puteți observa soarta fiecărui individ. În acest caz, descrierea matematică este rar folosită, mai des există condiții scrise:
- după cinci zile femela depune ouă;
- 20 de zile mai târziu furnica moare și așa mai departe.
Astfel, modelele de simulare sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. Concluzia matematică este prelucrarea datelor statistice primite.
Cerințe
Foarte importantrețineți că există anumite cerințe pentru acest tip de model, printre care se numără și cele prezentate în tabelul de mai jos.
| Versatilitate | Această proprietate vă permite să utilizați același model atunci când descrieți grupuri de obiecte de același tip. Este important de reținut că modelele matematice universale sunt complet independente de natura fizică a obiectului studiat |
| Adecvare | Este important să înțelegeți aici că această proprietate vă permite să reproduceți procesele reale cât mai precis posibil. În problemele de operare, această proprietate a modelării matematice este foarte importantă. Un exemplu de model este procesul de optimizare a utilizării unui sistem de gaz. În acest caz, se compară indicatorii calculați și cei efectivi, ca urmare, se verifică corectitudinea modelului compilat |
| Precizie | Această cerință implică coincidența valorilor pe care le obținem la calcularea modelului matematic și a parametrilor de intrare ai obiectului nostru real |
| Economie | Cerința de rentabilitate pentru orice model matematic este caracterizată de costuri de implementare. Dacă lucrarea cu modelul este efectuată manual, atunci este necesar să se calculeze cât timp va dura rezolvarea unei probleme folosind acest model matematic. Dacă vorbim de proiectare asistată de computer, atunci se calculează indicatorii costului timpului și al memoriei computerului |
Etapemodeling
În total, se obișnuiește să se distingă patru etape în modelarea matematică.
- Formulați legile care leagă părțile modelului.
- Cercetarea problemelor matematice.
- Clarificarea coincidenței rezultatelor practice și teoretice.
- Analiza și modernizarea modelului.
Model economic și matematic
În această secțiune, vom evidenția pe scurt problema modelelor economice și matematice. Exemple de sarcini sunt:
- formarea unui program de producție pentru producerea produselor din carne, asigurând profitul maxim al producției;
- maximizați profitul organizației prin calcularea numărului optim de mese și scaune care trebuie produse într-o fabrică de mobilă și așa mai departe.
Modelul economico-matematic afișează o abstractizare economică, care este exprimată folosind termeni și semne matematice.
Model matematic pe computer
Exemple de model matematic de calculator sunt:
- probleme de hidraulic folosind diagrame, diagrame, tabele și așa mai departe;
- probleme la mecanica solidă și așa mai departe.
Modelul computerizat este o imagine a unui obiect sau a unui sistem prezentat ca:
- mese;
- diagrame;
- diagrame;
- grafice și așa mai departe.
În același timp, acest model reflectă structura și interconexiunile sistemului.
Construirea unui model economico-matematic
Am vorbit deja despre ce economicmodel matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica rezerva pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.
Nu vom lua în considerare pe deplin problema, ci doar construim un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: Л=р1х1+р2х2… tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate, x este numărul de unități produse. În plus, pe baza modelului construit, este necesar să se facă calcule și să rezumați.
Un exemplu de construire a unui model matematic simplu
sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:
- 8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
- 20% din captură - locuitorii mărilor sudice;
- nu a fost găsit niciun pește din râul local.
Câți pești a cumpărat de la magazin?
Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme este următorul. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc în latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem modelul matematic al problemei: x=0, 2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: a cumpărat 10 pești din magazin.
