După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții acestora se adună întotdeauna (abac=ab+ c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbă simplă și accesibilă.
Definiție în matematică
Logaritmul este o expresie de forma următoare: logab=c c" în care trebuie să ridicați baza „a” pentru a obține în sfârșit valoarea „ b". Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log28. Cum să găsesc răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și este adevărat, pentru că2 ridicat la puterea lui 3 dă răspunsul 8.
Soiuri de logaritmi
Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri separate de expresii logaritmice:
- Logaritm natural ln a, unde baza este numărul Euler (e=2, 7).
- Logaritm zecimal lg a, unde baza este numărul 10.
- Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.
Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, trebuie să vă amintiți proprietățile acestora și ordinea acțiunilor în rezolvarea lor.
Reguli și unele restricții
În matematică, există mai multe reguli-restricții care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt negociabile și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să luați o rădăcină pară din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, în urma cărora poți învăța cu ușurință cum să lucrezi chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:
- baza lui „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egal cu valorile lor;
- dacă un > 0, atunci un b>0,se dovedește că „c” trebuie să fie și mai mare decât zero.
Cum se rezolvă logaritmii?
De exemplu, având în vedere sarcina de a găsi răspunsul la ecuația 10x=100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece, ia 100. Aceasta, desigur, puterea pătratică! 102=100.
Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log10100=2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea puterii la care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un anumit număr.
Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu tabelul de grade. Arată așa:
După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecție, celulele definesc valorile numerelor care sunt răspunsul (ac=b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât chiar și cel mai adevărat umanist va înțelege!
Ecuații și inegalități
Se pare că atunci cândÎn anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 34=81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log381=4). Pentru grade negative, regulile sunt aceleași: 2-5=1/32 scris ca logaritm, obținem log2 (1/32)=-5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Deocamdată, să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.
Se dă următoarea expresie: log2(x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritm. Expresia compară și două valori: logaritmul de bază doi al numărului dorit este mai mare decât numărul trei.
Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (exemplu - logaritmul2x=√9) implică în răspuns una sau mai multe valori numerice specifice, în timp ce la rezolvarea unei inegalități se determină atât intervalul de valori acceptabile, cât și punctele de întrerupere ale acestei funcții. Ca urmare, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.
Teoreme de bază despre logaritmi
Când rezolvați sarcini primitive pentru a găsi valorile logaritmului, este posibil să nu cunoașteți proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemplele de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate în detaliu.
- Identitatea de bază arată astfel: alogaB=B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
- Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: logd(s1s2)=jurnalds1 + jurnalds2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s1 și s2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Să înregistreze as1 =f1 și să înregistreze as 2=f2, apoi af1=s1, a f2=s2. Primim acel s1s2 =af1a f2=af1+f2 (proprietăți ale gradului) și mai departe, prin definiție: loga(s1 s2)=f1+ f2=jurnal as1 + logas2, care trebuia demonstrat.
- Logaritmul coeficientului arată astfel: loga(s1/s2)=jurnalul as1- jurnalas2.
- Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: logaqbn =n/q logab.
Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovezi.
Să înregistrezeab=t, obținem at=b. Dacă ridicați ambele părți la puterea m: atn=b;
dar pentru că atn=(aq)nt/q=b , de aici logaq bn=(nt)/t, apoi logaq bn=n/q logab. Teoremă demonstrată.
Exemple de probleme și inegalități
Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece testele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.
Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem în curând.
La rezolvarea ecuațiilor logaritmice,este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.
Iată exemple de logaritmi zecimali: ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100, respectiv 1026. Pentru soluțiile de logaritmi naturali, trebuie să se aplice identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.
Cum se utilizează formulele logaritmice: cu exemple și soluții
Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale despre logaritmi.
- Proprietatea logaritmului produsului poate fi folosită în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, jurnal24 + jurnal2128=jurnal2(4128)=jurnal2512. Răspunsul este 9.
- log48=jurnal22 23 =3/2 log22=1, 5 - după cum puteți vedea, aplicând a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Tot ce trebuie să faci este factorizarea bazei și apoi să scoți puterea din semnul logaritmului.
Teme de la examen
Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cel mai multtest ușor parte a examenului), dar și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită o cunoaștere exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.
Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din versiunile oficiale ale examenului. Să vedem cum sunt rezolvate astfel de sarcini.
Given log2(2x-1)=4. Soluție:
rescrieți expresia, simplificând-o un pic jurnal2(2x-1)=22, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1=24, deci 2x=17; x=8, 5.
Urmând câteva linii directoare, urmând care puteți rezolva cu ușurință toate ecuațiile care conțin expresii care sunt sub semnul logaritmului.
- Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
- Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, deci la înmulțirea exponentului expresiei care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.
