Matricele și determinanții au fost descoperite în secolele al XVIII-lea și al XIX-lea. Inițial, dezvoltarea lor a vizat transformarea obiectelor geometrice și rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Din punct de vedere istoric, accentul timpuriu a fost pus pe determinant. În metodele moderne de procesare algebrei liniare, matricele sunt luate în considerare mai întâi. Merită să vă gândiți la această întrebare pentru un timp.
Răspunsuri din acest domeniu de cunoștințe
Matricele oferă o modalitate utilă teoretic și practic de a rezolva multe probleme, cum ar fi:
- sisteme de ecuații liniare;
- echilibrul solidelor (în fizică);
- teoria graficelor;
- Modelul economic al lui Leontief;
- forestal;
- grafică pe computer și tomografie;
- genetică;
- criptografie;
- rețele electrice;
- fractal.
De fapt, algebra matriceală pentru „manichini” are o definiție simplificată. Se exprimă astfel: acesta este un domeniu științific al cunoașterii în carevalorile în cauză sunt studiate, analizate și explorate pe deplin. În această secțiune de algebră sunt studiate diverse operații asupra matricelor studiate.
Cum se lucrează cu matrice
Aceste valori sunt considerate egale dacă au aceleași dimensiuni și fiecare element al unuia este egal cu elementul corespunzător al celuil alt. Este posibil să înmulțiți o matrice cu orice constantă. Acest dat se numește înmulțire scalară. Exemplu: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matricele de aceeași dimensiune pot fi adăugate și scăzute prin intrări, iar valorile dimensiunilor compatibile pot fi înmulțite. Exemplu: adăugați două A și B: A=[21−10]B=[1423]. Acest lucru este posibil deoarece A și B sunt ambele matrice cu două rânduri și același număr de coloane. Este necesar să adăugați fiecare element din A la elementul corespunzător din B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matricele se scad în același mod în algebră.
Înmulțirea cu matrice funcționează puțin diferit. Mai mult, pot exista multe cazuri și opțiuni, precum și soluții. Dacă înmulțim matricea Apq și Bmn, atunci produsul Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Intrarea din rândul gth și coloana h a lui AB este suma produsului intrărilor corespunzătoare din g A și h B. Este posibilă multiplicarea a două matrice numai dacă numărul de coloane din primul și rândurile din al doilea sunt egale. Exemplu: îndepliniți condiția pentru considerați A și B: A=[1−130]B=[2−11214]. Acest lucru este posibil deoarece prima matrice conține 2 coloane, iar a doua conține 2 rânduri. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informații de bază despre matrice
Valorile în cauză organizează informații precum variabile și constante și le stochează în rânduri și coloane, numite de obicei C. Fiecare poziție din matrice se numește element. Exemplu: C=[1234]. Este format din două rânduri și două coloane. Elementul 4 se află pe rândul 2 și pe coloana 2. De obicei, puteți numi o matrice după dimensiunile sale, cea numită Cmk are m rânduri și k coloane.
Matrici extinse
Considerațiile sunt lucruri incredibil de utile care apar în multe domenii de aplicare diferite. Matricele s-au bazat inițial pe sisteme de ecuații liniare. Având în vedere următoarea structură a inegalităților, trebuie luată în considerare următoarea matrice completată:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Notați coeficienții și valorile de răspuns, inclusiv toate semnele minus. Dacă elementul cu un număr negativ, atunci acesta va fi egal cu „1”. Adică, având în vedere un sistem de ecuații (liniare), este posibil să se asocieze cu acesta o matrice (grilă de numere din paranteze). Este cel care conține doar coeficienții sistemului liniar. Aceasta se numește „matrice extinsă”. Grila care conține coeficienții din partea stângă a fiecărei ecuații a fost „completată” cu răspunsurile din partea dreaptă a fiecărei ecuații.
Înregistrări, adicăvalorile B ale matricei corespund valorilor x-, y- și z din sistemul original. Dacă este aranjat corespunzător, atunci în primul rând verificați-l. Uneori trebuie să rearanjați termenii sau să introduceți zerouri ca substituenți în matricea studiată sau studiată.
Având în vedere următorul sistem de ecuații, putem scrie imediat matricea augmentată asociată:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
În primul rând, asigurați-vă că ați rearanjat sistemul ca:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Atunci este posibil să scrieți matricea asociată ca: [11000113-1012]. Când formați unul extins, merită să utilizați zero pentru orice înregistrare în care locul corespunzător din sistemul de ecuații liniare este gol.
Algebră matriceală: proprietăți ale operațiilor
Dacă este necesar să se formeze elemente numai din valorile coeficientului, atunci valoarea luată în considerare va arăta astfel: [110011-101]. Aceasta se numește „matricea coeficienților”.
Luând în considerare următoarea algebră matriceală extinsă, este necesar să o îmbunătățim și să adăugați sistemul liniar asociat. Acestea fiind spuse, este important să ne amintim că acestea necesită ca variabilele să fie bine aranjate și îngrijite. Și, de obicei, când există trei variabile, utilizați x, y și z în această ordine. Prin urmare, sistemul liniar asociat ar trebui să fie:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Dimensiunea matricei
Articolele în cauză sunt adesea menționate prin performanța lor. Mărimea unei matrice în algebră este dată camăsurători, deoarece camera poate fi numită diferit. Măsurile de valori măsurate sunt rânduri și coloane, nu lățimea și lungimea. De exemplu, matricea A:
[1234]
[2345]
[3456].
Deoarece A are trei rânduri și patru coloane, dimensiunea lui A este 3 × 4.
→
↓
Randurile merg lateral. Coloanele merg în sus și în jos. „Rând” și „coloană” sunt specificații și nu sunt interschimbabile. Dimensiunile matricelor sunt întotdeauna specificate cu numărul de rânduri și apoi numărul de coloane. În urma acestei convenții, următorul B:
[123]
[234] este 2 × 3. Dacă o matrice are același număr de rânduri ca și coloane, atunci se numește „pătrat”. De exemplu, valorile coeficientului de mai sus:
[110]
[011]
[-101] este o matrice pătrată 3×3.
Notație matriceală și formatare
Notă de formatare: De exemplu, când trebuie să scrieți o matrice, este important să folosiți paranteze . Barele cu valori absolute || nu sunt folosite deoarece au o direcție diferită în acest context. Parantezele sau acoladele {} nu sunt niciodată folosite. Sau un alt simbol de grupare, sau deloc, deoarece aceste prezentări nu au nicio semnificație. În algebră, o matrice se află întotdeauna în paranteze pătrate. Trebuie folosită doar notarea corectă, altfel răspunsurile pot fi considerate deranjate.
Așa cum am menționat mai devreme, valorile conținute într-o matrice se numesc înregistrări. Indiferent de motiv, elementele în cauză sunt de obicei scrisemajuscule, cum ar fi A sau B, și intrările sunt specificate folosind literele mici corespunzătoare, dar cu indice. În matricea A, valorile sunt de obicei numite „ai, j”, unde i este rândul lui A și j este coloana lui A. De exemplu, a3, 2=8. Intrarea pentru a1, 3 este 3.
Pentru matricele mai mici, cele cu mai puțin de zece rânduri și coloane, virgula indicelui este uneori omisă. De exemplu, „a1, 3=3” ar putea fi scris ca „a13=3”. Evident, acest lucru nu va funcționa pentru matrice mari, deoarece a213 va fi obscur.
Tipuri de matrice
Uneori clasificate în funcție de configurațiile lor de înregistrare. De exemplu, o astfel de matrice care are toate intrările zero sub diagonala sus-stânga-jos-dreapta „diagonală” se numește triunghiular superior. Printre altele, pot exista și alte feluri și tipuri, dar nu sunt foarte utile. În general, percepută în cea mai mare parte ca triunghiular superior. Valorile cu exponenți diferiti de zero numai pe orizontală se numesc valori diagonale. Tipuri similare au intrări diferite de zero în care toate sunt 1, astfel de răspunsuri sunt numite identice (din motive care vor deveni clare atunci când se învață și se înțelege cum să înmulțim valorile în cauză). Există mulți indicatori de cercetare similari. Identitatea 3 × 3 este notată cu I3. În mod similar, identitatea 4 × 4 este I4.
Algebră matriceală și spații liniare
Rețineți că matricele triunghiulare sunt pătrate. Dar diagonalele sunt triunghiulare. Având în vedere acest lucru, ei suntpătrat. Iar identitățile sunt considerate diagonale și, prin urmare, triunghiulare și pătrate. Când este necesar să se descrie o matrice, de obicei se specifică pur și simplu propria clasificare cea mai specifică, deoarece aceasta le implică pe toate celel alte. Clasificați următoarele opțiuni de cercetare:ca 3 × 4. În acest caz, ele nu sunt pătrate. Prin urmare, valorile nu pot fi altceva. Următoarea clasificare:este posibilă ca 3 × 3. Dar este considerat un pătrat și nu are nimic special în el. Clasificarea următoarelor date:ca 3 × 3 triunghiular superior, dar nu este diagonală. Adevărat, în valorile luate în considerare pot exista zerouri suplimentare pe sau deasupra spațiului localizat și indicat. Clasificarea studiată este mai departe: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], unde este reprezentată ca o diagonală și, în plus, intrările sunt toate 1. Atunci aceasta este o identitate 3 × 3, I3.
Deoarece matricele analoge sunt prin definiție pătrate, trebuie să folosiți doar un singur index pentru a le găsi dimensiunile. Pentru ca două matrice să fie egale, trebuie să aibă același parametru și să aibă aceleași intrări în aceleași locuri. De exemplu, să presupunem că există două elemente luate în considerare: A=[1 3 0] [-2 0 0] și B=[1 3] [-2 0]. Aceste valori nu pot fi aceleași, deoarece au dimensiuni diferite.
Chiar dacă A și B sunt: A=[3 6] [2 5] [1 4] și B=[1 2 3] [4 5 6] - tot nu sunt la fel același lucru. A și B au fiecareșase intrări și au, de asemenea, aceleași numere, dar acest lucru nu este suficient pentru matrice. A este 3×2. Și B este o matrice 2×3. A pentru 3×2 nu este 2×3. Nu contează dacă A și B au aceeași cantitate de date sau chiar aceleași numere ca înregistrările. Dacă A și B nu au aceeași dimensiune și formă, dar au valori identice în locuri similare, ele nu sunt egale.
Operațiuni similare în zona luată în considerare
Această proprietate a egalității matricei poate fi transformată în sarcini pentru cercetare independentă. De exemplu, sunt date două matrici și se indică faptul că sunt egale. În acest caz, va trebui să utilizați această egalitate pentru a explora și a obține răspunsuri pentru valorile variabilelor.
Exemplele și soluțiile de matrice în algebră pot fi variate, mai ales când vine vorba de egalități. Având în vedere că sunt luate în considerare următoarele matrice, este necesar să se găsească valorile x și y. Pentru ca A și B să fie egale, trebuie să aibă aceeași dimensiune și formă. De fapt, ele sunt astfel, deoarece fiecare dintre ele este 2 × 2 matrice. Și ar trebui să aibă aceleași valori în aceleași locuri. Atunci a1, 1 trebuie să fie egal cu b1, 1, a1, 2 trebuie să fie egal cu b1, 2 și așa mai departe. Dar, a1, 1=1 nu este în mod evident egal cu b1, 1=x. Pentru ca A să fie identic cu B, intrarea trebuie să aibă a1, 1=b1, 1, deci este capabilă să fie 1=x. În mod similar, indicii a2, 2=b2, 2, deci 4=y. Atunci soluția este: x=1, y=4. Având în vedere că următoarelematricele sunt egale, trebuie să găsiți valorile lui x, y și z. Pentru a avea A=B, coeficienții trebuie să aibă toate intrările egale. Adică a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 și așa mai departe. În special, trebuie să:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
După cum puteți vedea din matricele selectate: cu 1, 1-, 2, 2- și 3, 1-elemente. Rezolvând aceste trei ecuații, obținem răspunsul: x=4, y=-6 și z=9. Algebra matriceală și operațiile cu matrice sunt diferite de ceea ce este obișnuit toți, dar nu sunt reproductibile.
Informații suplimentare în acest domeniu
Algebra matriceală liniară este studiul unor seturi similare de ecuații și proprietățile lor de transformare. Acest domeniu de cunoștințe vă permite să analizați rotațiile în spațiu, să aproximați cele mai mici pătrate, să rezolvați ecuații diferențiale asociate, să determinați un cerc care trece prin trei puncte date și să rezolvați multe alte probleme din matematică, fizică și tehnologie. Algebra liniară a unei matrice nu este cu adevărat sensul tehnic al cuvântului folosit, adică un spațiu vectorial v peste un câmp f etc.
Matricea și determinantul sunt instrumente de algebră liniară extrem de utile. Una dintre sarcinile centrale este rezolvarea ecuației matriceale Ax=b, pentru x. Deși acest lucru ar putea fi rezolvat teoretic folosind inversul x=A-1 b. Alte metode, cum ar fi eliminarea gaussiană, sunt mai fiabile din punct de vedere numeric.
Pe lângă faptul că este folosit pentru a descrie studiul seturilor liniare de ecuații,termenul de mai sus este folosit și pentru a descrie un anumit tip de algebră. În special, L peste un câmp F are structura unui inel cu toate axiomele obișnuite pentru adunare și înmulțire internă, împreună cu legile distributive. Prin urmare, îi conferă mai multă structură decât un inel. Algebra matriceală liniară admite, de asemenea, o operație exterioară de înmulțire cu scalari care sunt elemente ale câmpului subiacent F. De exemplu, mulțimea tuturor transformărilor considerate dintr-un spațiu vectorial V la el însuși peste un câmp F se formează peste F. Un alt exemplu de liniară algebra este mulțimea tuturor matricelor pătrate reale peste un câmp R numere reale.
