În matematică, există conceptul de „mult”, precum și exemple de comparare a acestor seturi între ele. Denumirile tipurilor de comparare a mulțimilor sunt următoarele cuvinte: bijecție, injecție, surjecție. Fiecare dintre ele este descris mai detaliat mai jos.
O bijecție este… ce este?
Un grup de elemente din primul set se potrivește cu al doilea grup de elemente din al doilea set în această formă: fiecare element din primul grup este asociat direct cu un alt element din al doilea grup și acolo nu este o situație cu o lipsă sau o enumerare de elemente din oricare sau din două grupuri de seturi.
Formularea principalelor proprietăți:
- Un element la unul.
- Nu există elemente suplimentare la potrivire, iar prima proprietate este păstrată.
- Este posibil să inversați maparea menținând în același timp vizualizarea generală.
- O bijecție este o funcție care este atât injectivă, cât și surjectivă.
Bijecție din punct de vedere științific
Funcțiile bijective sunt exact izomorfisme din categoria „mulțime și mulțime de funcții”. Cu toate acestea, bijecțiile nu sunt întotdeauna izomorfisme pentru categorii mai complexe. De exemplu, într-o anumită categorie de grupuri, morfismele trebuie să fie homomorfisme, deoarece trebuie să păstreze structura grupului. Prin urmare, izomorfismele sunt izomorfisme de grup, care sunt homomorfisme bijective.
Conceptul de „corespondență unu-la-unu” este generalizat la funcțiile parțiale, unde sunt numite bijecții parțiale, deși o bijecție parțială este ceea ce ar trebui să fie o injecție. Motivul pentru această relaxare este că funcția parțială (proprie) nu mai este definită pentru o parte a domeniului său. Astfel, nu există niciun motiv întemeiat pentru a limita funcția sa inversă la una completă, adică definită peste tot în domeniul său. Mulțimea tuturor bijecțiilor parțiale la un anumit set de baze se numește semigrup invers simetric.
Un alt mod de a defini același concept: merită spus că o bijecție parțială de mulțimi de la A la B este orice relație R (funcție parțială) cu proprietatea că R este un grafic de bijecție f:A'→B „unde A” este un subset al lui A și B” este un subset al lui B.
Când o bijecție parțială este pe același set, uneori este numită o transformare parțială unu-la-unu. Un exemplu este transformarea Möbius tocmai definită pe planul complex, nu finalizarea ei în planul complex extins.
Injecție
Un grup de elemente din primul set se potrivește cu cel de-al doilea grup de elemente din al doilea set sub această formă: fiecare element din primul grup este potrivit cu un alt element din al doilea, dar nu toate acestea sunt transformate în perechi. Numărul de elemente nepereche depinde de diferența dintre numărul acestor elemente în fiecare dintre seturi: dacă un set este format din treizeci și unu de elemente, iar celăl alt are încă șapte, atunci numărul elementelor nepereche este șapte. Injecție direcționată în set. Bijecția și injecția sunt similare, dar nimic mai mult decât similare.
Surjection
Un grup de elemente din primul set se potrivește cu al doilea grup de elemente din al doilea set în acest fel: fiecare element al oricărui grup formează o pereche, chiar dacă există o diferență între numărul de elemente. Rezultă că un element dintr-un grup se poate asocia cu mai multe elemente dintr-un alt grup.
Nici funcție bijectivă, nici injectivă, nici surjectivă
Aceasta este o funcție a formei bijective și surjective, dar cu un rest (nepereche)=> injecție. Într-o astfel de funcție, există în mod clar o legătură între bijecție și surjecție, deoarece include direct aceste două tipuri de comparații de set. Deci, totalitatea tuturor tipurilor de aceste funcții nu este una dintre ele în mod izolat.
Explicarea tuturor tipurilor de funcții
De exemplu, observatorul este fascinat de următoarele. Sunt concursuri de tir cu arcul. Fiecare dintreparticipanții doresc să lovească ținta (pentru a facilita sarcina: exact unde lovește săgeata nu este luat în considerare). Doar trei participanți și trei ținte - acesta este primul site (site) pentru turneu. În secțiunile ulterioare, numărul de arcași este păstrat, dar numărul de ținte este modificat: pe a doua - patru ținte, pe următoarea - tot patru și pe a patra - cinci. Fiecare participant trage în fiecare țintă.
- Primul loc pentru turneu. Primul arcaș lovește o singură țintă. Al doilea lovește doar o țintă. Al treilea se repetă după ceilalți, iar toți arcașii lovesc ținte diferite: cele care se află în fața lor. Ca rezultat, 1 (primul arcaș) a lovit ținta (a), 2 - în (b), 3 - în (c). Se observă următoarea dependență: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Concluzia va fi judecata că o astfel de comparație de mulțimi este o bijecție.
- A doua platformă pentru turneu. Primul arcaș lovește o singură țintă. Al doilea lovește, de asemenea, o singură țintă. Al treilea nu prea încearcă și repetă totul după ceilalți, dar condiția este aceeași - toți arcașii lovesc ținte diferite. Dar, așa cum am menționat mai devreme, există deja patru ținte pe a doua platformă. Dependență: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - element nepereche al mulțimii. În acest caz, concluzia va fi judecata că o astfel de comparație de set este o injecție.
- Al treilea loc pentru turneu. Primul arcaș lovește o singură țintă. Al doilea lovește din nou o singură țintă. Al treilea decide să se retragă și lovește a treia și a patra țintă. Ca urmare, dependența: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Aici, concluzia va fi judecata că o astfel de comparație de seturi este o suprajecție.
- A patra platformă pentru turneu. Cu primul, totul este deja clar, lovește o singură țintă, în care în curând nu va mai fi loc pentru lovituri deja plictisitoare. Acum al doilea preia rolul celui de-al treilea încă recent și lovește din nou o singură țintă, repetându-se după prima. Al treilea continuă să se controleze și nu se oprește să-și introducă săgeata la a treia și a patra țintă. Al cincilea, însă, era încă dincolo de controlul lui. Deci, dependență: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - element nepereche al setului de ținte. Concluzie: o astfel de comparație de seturi nu este o suprajecție, nu o injecție și nu o bijecție.
Acum construirea unei bijecții, injecție sau surjecție nu va fi o problemă, precum și găsirea diferențelor între ele.
