Destul de des în știința matematică există o serie de dificultăți și întrebări, iar multe dintre răspunsuri nu sunt întotdeauna clare. Nicio excepție nu a fost un astfel de subiect precum cardinalitatea seturilor. De fapt, aceasta nu este altceva decât o expresie numerică a numărului de obiecte. Într-un sens general, o mulțime este o axiomă; nu are definiție. Se bazează pe orice obiecte, sau mai degrabă pe mulțimea lor, care poate fi goală, finită sau infinită. În plus, conține numere întregi sau naturale, matrici, secvențe, segmente și linii.
Despre variabilele existente
Un set nul sau gol fără valoare intrinsecă este considerat un element cardinal deoarece este o submulțime. Colecția tuturor submulțimii unei mulțimi nevide S este o mulțime de mulțimi. Astfel, setul de puteri al unei mulțimi date este considerat a fi multe, de imaginat, dar unic. Această mulțime se numește mulțimea puterilor lui S și se notează cu P (S). Dacă S conține N elemente, atunci P(S) conține 2^n submulțimi, deoarece o submulțime a lui P(S) este fie ∅, fie o submulțime care conține r elemente din S, r=1, 2, 3, … Compus din tot ceea ce este infinitsetul M se numește mărime de putere și este notat simbolic cu P (M).
Elemente ale teoriei mulțimilor
Acest domeniu de cunoaștere a fost dezvoltat de George Cantor (1845-1918). Astăzi este folosit în aproape toate ramurile matematicii și servește ca parte fundamentală. În teoria mulțimilor, elementele sunt reprezentate sub forma unei liste și sunt date prin tipuri (mulțime goală, singleton, mulțimi finite și infinite, egale și echivalente, universale), unire, intersecție, diferență și adunare de numere. În viața de zi cu zi, vorbim adesea despre o colecție de obiecte precum o grămadă de chei, un stol de păsări, un pachet de cărți etc. În clasa a 5-a la matematică și mai departe, există numere naturale, întregi, prime și compuse.
Următoarele seturi pot fi luate în considerare:
- numere naturale;
- litere ale alfabetului;
- cote primare;
- triunghiuri cu laturi diferite.
Se poate observa că aceste exemple specificate sunt seturi bine definite de obiecte. Luați în considerare alte câteva exemple:
- cinci cei mai faimoși oameni de știință din lume;
- șapte fete frumoase în societate;
- trei cei mai buni chirurgi.
Aceste exemple de cardinalitate nu sunt colecții bine definite de obiecte, deoarece criteriile pentru „cel mai faimos”, „cel mai frumos”, „cel mai bun” variază de la persoană la persoană.
Seturi
Această valoare este un număr bine definit de obiecte diferite. Presupunând că:
- set de cuvinte este un sinonim, agregat, clasă și conține elemente;
- obiecte, membrii sunt termeni egali;
- seturile sunt de obicei notate cu majuscule A, B, C;
- set sunt reprezentate prin litere mici a, b, c.
Elementele
Dacă „a” este un element al mulțimii A, atunci se spune că „a” aparține lui A. Să notăm sintagma „aparține” cu caracterul grecesc „∈” (epsilon). Astfel, rezultă că a ∈ A. Dacă „b” este un element care nu aparține lui A, acesta este reprezentat ca b ∉ A. Unele mulțimi importante folosite la matematica de clasa a 5-a sunt reprezentate folosind următoarele trei metode:
- aplicații;
- registruri sau tabelar;
- regulă pentru crearea unei formații.
La o examinare mai atentă, formularul de cerere se bazează pe următoarele. În acest caz, se oferă o descriere clară a elementelor setului. Toate sunt închise în bretele. De exemplu:
- set de numere impare mai mici de 7 - scrise ca {mai puțin de 7};
- un set de numere mai mari de 30 și mai mici de 55;
- număr de elevi dintr-o clasă care cântărește mai mult decât profesorul.
În formularul de registru (tabel), elementele unui set sunt enumerate într-o pereche de paranteze {} și separate prin virgule. De exemplu:
- Fie ca N să desemneze mulțimea primelor cinci numere naturale. Prin urmare, N=→ formularul de înregistrare
- Set de toate vocalele alfabetului englez. Prin urmare, V={a, e, i, o, u, y} → forma de înregistrare
- Setul tuturor numerelor impare este mai mic decat 9. Prin urmare, X={1, 3, 5, 7} → formaregistry
- Setul de toate literele din cuvântul „Matematică”. Prin urmare, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formular de înregistrare
- W este setul ultimelor patru luni ale anului. Prin urmare, W={septembrie, octombrie, noiembrie, decembrie} → registru.
Rețineți că ordinea în care sunt listate elementele nu contează, dar nu trebuie repetate. O formă stabilită de construcție, într-un caz dat, o regulă, o formulă sau un operator este scrisă între paranteze, astfel încât mulțimea să fie corect definită. În formularul de generator de set, toate elementele trebuie să aibă aceeași proprietate pentru a deveni membru al valorii în cauză.
În această formă de reprezentare a mulțimii, un element al mulțimii este descris cu caracterul „x” sau orice altă variabilă urmată de două puncte („:” sau „|” este folosit pentru a indica). De exemplu, să fie P mulțimea numerelor numărabile mai mari decât 12. P în forma generatorului de set este scris ca - {număr numărabil și mai mare decât 12}. Se va citi într-un anumit fel. Adică, „P este un set de x elemente astfel încât x este numărabil și mai mare de 12.”
Exemplu rezolvat folosind trei metode de reprezentare a setului: numărul de numere întregi între -2 și 3. Mai jos sunt exemple de diferite tipuri de seturi:
- Un set gol sau nul care nu conține niciun element și este notat cu simbolul ∅ și este citit ca phi. În formă de listă, ∅ se scrie {}. Mulțimea finită este goală, deoarece numărul de elemente este 0. De exemplu, setul de valori întregi este mai mic decât 0.
- Evident că nu ar trebui să existe <0. Prin urmare, acestset gol.
- Un set care conține o singură variabilă se numește un set singleton. Nu este nici simplu, nici compus.
Set finit
O mulțime care conține un anumit număr de elemente se numește mulțime finită sau infinită. Gol se referă la primul. De exemplu, un set de toate culorile din curcubeu.
Infinity este un set. Elementele din acesta nu pot fi enumerate. Adică, care conține variabile similare se numește mulțime infinită. Exemple:
- puterea setului tuturor punctelor din plan;
- set de toate numerele prime.
Dar ar trebui să înțelegeți că toate cardinalitățile unirii unui set nu pot fi exprimate sub forma unei liste. De exemplu, numere reale, deoarece elementele lor nu corespund niciunui model anume.
Numărul cardinal al unei mulțimi este numărul de elemente diferite dintr-o anumită cantitate A. Se notează n (A).
De exemplu:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Prin urmare, n (A)=4.
- B=set de litere din cuvântul ALGEBRA.
Seturi echivalente pentru compararea seturilor
Două cardinalități ale unei mulțimi A și B sunt astfel dacă numărul lor cardinal este același. Simbolul pentru mulțimea echivalentă este „↔”. De exemplu: A ↔ B.
Mări egale: două cardinalități ale mulțimilor A și B dacă conțin aceleași elemente. Fiecare coeficient din A este o variabilă din B și fiecare dintre B este valoarea specificată pentru A. Prin urmare, A=B. Diferitele tipuri de uniuni de cardinalitate și definițiile lor sunt explicate folosind exemplele oferite.
Esența finiturii și infinitului
Care sunt diferențele dintre cardinalitatea unei mulțimi finite și a unei mulțimi infinite?
Prima valoare are următorul nume dacă este fie goală, fie are un număr finit de elemente. Într-o mulțime finită, o variabilă poate fi specificată dacă are un număr limitat. De exemplu, folosind numărul natural 1, 2, 3. Și procesul de listare se termină la niște N. Numărul de elemente diferite numărate în mulțimea finită S este notat cu n (S). Se mai numește ordine sau cardinal. Notat simbolic conform principiului standard. Astfel, dacă mulțimea S este alfabetul rus, atunci conține 33 de elemente. De asemenea, este important să rețineți că un element nu apare de mai multe ori într-un set.
Infinit în set
Un set se numește infinit dacă elementele nu pot fi enumerate. Dacă are un număr natural nemărginit (adică nenumărabil) 1, 2, 3, 4 pentru orice n. O mulțime care nu este finită se numește infinită. Putem discuta acum exemple de valori numerice luate în considerare. Opțiuni pentru valoarea finală:
- Fie Q={numere naturale mai mici de 25}. Atunci Q este o mulțime finită și n (P)=24.
- Fie R={numere întregi între 5 și 45}. Atunci R este o mulțime finită și n (R)=38.
- Fie S={numere modulo 9}. Atunci S={-9, 9} este o mulțime finită și n (S)=2.
- Set de toate persoanele.
- Numărul tuturor păsărilor.
Exemple infinite:
- număr de puncte existente în avion;
- numărul tuturor punctelor din segmentul de linie;
- mulțimea numerelor întregi pozitive divizibil cu 3 este infinit;
- toate numerele întregi și naturale.
Astfel, din raționamentul de mai sus, este clar cum se face distincția între mulțimile finite și infinite.
Puterea setului continuum
Dacă comparăm setul și alte valori existente, atunci se atașează o adăugare. Dacă ξ este universal și A este o submulțime a lui ξ, atunci complementul lui A este numărul tuturor elementelor lui ξ care nu sunt elemente ale lui A. În mod simbolic, complementul lui A față de ξ este A'. De exemplu, 2, 4, 5, 6 sunt singurele elemente ale lui ξ care nu aparțin lui A. Prin urmare, A'={2, 4, 5, 6}
Un set cu continuu de cardinalitate are următoarele caracteristici:
- complementul cantității universale este valoarea goală în cauză;
- această variabilă set nul este universal;
- suma și complementul acesteia sunt disjunse.
De exemplu:
- Fie ca numărul de numere naturale să fie o mulțime universală și A să fie par. Apoi A „{x: x este un set impar cu aceleași cifre}.
- Let ξ=set de litere din alfabet. A=set de consoane. Apoi A '=numărul de vocale.
- Complementul setului universal este cantitatea goală. Poate fi notat cu ξ. Atunci ξ '=Mulțimea acelor elemente care nu sunt incluse în ξ. Se scrie și se notează mulțimea goală φ. Prin urmare ξ=φ. Astfel, complementul la setul universal este gol.
În matematică, „continuum” este uneori folosit pentru a reprezenta o linie reală. Și mai general, pentru a descrie obiecte similare:
- continuum (în teoria mulțimilor) - linie reală sau număr cardinal corespunzător;
- liniar - orice set ordonat care are anumite proprietăți ale unei linii reale;
- continuum (în topologie) - spațiu metric conectat compact nevid (uneori Hausdorff);
- ipoteza că nicio mulțime infinită nu este mai mare decât numerele întregi, dar mai mică decât numerele reale;
- puterea continuumului este un număr cardinal reprezentând dimensiunea setului de numere reale.
În esență, un continuum (măsurare), teorii sau modele care explică tranzițiile treptate de la o stare la alta fără nicio schimbare bruscă.
Probleme de unire și intersecție
Se știe că intersecția a două sau mai multe mulțimi este numărul care conține toate elementele care sunt comune în aceste valori. Sarcinile de cuvinte pe mulțimi sunt rezolvate pentru a obține idei de bază despre cum să utilizați proprietățile de unire și intersecție ale mulțimilor. A rezolvat principalele probleme ale cuvintelor peseturile arată astfel:
Fie ca A și B să fie două mulțimi finite. Sunt astfel încât n (A)=20, n (B)=28 și n (A ∪ B)=36, găsiți n (A ∩ B)
Relație în seturi folosind diagrama Venn:
- Unirea a două mulțimi poate fi reprezentată printr-o zonă umbrită reprezentând A ∪ B. A ∪ B când A și B sunt mulțimi disjunse.
- Intersecția a două mulțimi poate fi reprezentată printr-o diagramă Venn. Cu zonă umbrită reprezentând A ∩ B.
- Diferența dintre cele două seturi poate fi reprezentată prin diagrame Venn. Cu o zonă umbrită reprezentând A - B.
- Relația dintre trei seturi folosind o diagramă Venn. Dacă ξ reprezintă o mărime universală, atunci A, B, C sunt trei submulțimi. Aici toate cele trei seturi se suprapun.
Rezumarea informațiilor setului
Cardinalitatea unui set este definită ca numărul total de elemente individuale din set. Iar ultima valoare specificată este descrisă ca numărul tuturor submulților. Când se studiază astfel de probleme, sunt necesare metode, metode și soluții. Deci, pentru cardinalitatea unui set, următoarele exemple pot servi ca:
Fie A={0, 1, 2, 3}| |=4, unde | A | reprezintă cardinalitatea setului A.
Acum îți poți găsi pachetul de putere. Este și destul de simplu. După cum sa spus deja, setul de putere este stabilit din toate subseturile unui număr dat. Deci, ar trebui să definești practic toate variabilele, elementele și alte valori ale lui A,care sunt {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Acum calculați puterea P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} care are 16 elemente. Astfel, cardinalitatea mulțimii A=16. Evident, aceasta este o metodă plictisitoare și greoaie pentru rezolvarea acestei probleme. Cu toate acestea, există o formulă simplă prin care, în mod direct, puteți cunoaște numărul de elemente din setul de puteri a unui număr dat. | P |=2 ^ N, unde N este numărul de elemente din unele A. Această formulă poate fi obținută folosind combinatorie simplă. Deci întrebarea este 2^11, deoarece numărul de elemente din setul A este 11.
Deci, un set este orice cantitate exprimată numeric, care poate fi orice obiect posibil. De exemplu, mașini, oameni, numere. În sens matematic, acest concept este mai larg și mai generalizat. Dacă în etapele inițiale numerele și opțiunile pentru soluționarea lor sunt sortate, atunci în etapele mijlocii și superioare condițiile și sarcinile sunt complicate. De fapt, cardinalitatea unirii unei multimi este determinata de apartenenta obiectului la orice grup. Adică, un element aparține unei clase, dar are una sau mai multe variabile.
