Pythagoras a susținut că numărul stă la baza lumii împreună cu elementele de bază. Platon credea că numărul leagă fenomenul și noumenul, ajutând la cunoașterea, măsurarea și tragerea concluziilor. Aritmetica provine de la cuvântul „arithmos” – un număr, începutul începuturilor în matematică. Poate descrie orice obiect - de la un măr elementar la spații abstracte.
Nevoi ca factor de dezvoltare
În etapele incipiente ale formării societății, nevoile oamenilor se limitau la nevoia de a ține socoteala - un sac de cereale, doi saci de cereale etc. Numerele naturale erau suficiente pentru aceasta, al căror set este o succesiune pozitivă infinită de numere întregi N.
Mai târziu, odată cu dezvoltarea matematicii ca știință, a fost nevoie de un câmp separat al numerelor întregi Z - include valori negative și zero. Apariția sa la nivelul gospodăriei a fost provocată de faptul că în contabilitatea primară a fost necesar să se repare cumvadatorii si pierderi. La nivel științific, numerele negative au făcut posibilă rezolvarea celor mai simple ecuații liniare. Printre altele, imaginea unui sistem de coordonate banal a devenit acum posibilă, de când a apărut un punct de referință.
Următorul pas a fost necesitatea introducerii numerelor fracționale, deoarece știința nu a stat pe loc, tot mai multe descoperiri necesitau o bază teoretică pentru un nou impuls de creștere. Așa a apărut câmpul numerelor raționale Q.
În sfârșit, raționalitatea a încetat să satisfacă cererile, deoarece toate concluziile noi necesitau justificare. A apărut câmpul numerelor reale R, lucrările lui Euclid asupra incomensurabilității anumitor mărimi din cauza iraționalității lor. Adică, matematicienii greci antici au poziționat numărul nu numai ca o constantă, ci și ca o cantitate abstractă, care se caracterizează prin raportul cantităților incomensurabile. Datorită faptului că au apărut numere reale, cantități precum „pi” și „e” „au văzut lumina”, fără de care matematica modernă nu ar putea avea loc.
Inovația finală a fost numărul complex C. Acesta a răspuns la o serie de întrebări și a respins postulatele introduse anterior. Datorită dezvoltării rapide a algebrei, rezultatul a fost previzibil - având numere reale, rezolvarea multor probleme era imposibilă. De exemplu, datorită numerelor complexe, teoria corzilor și haosul s-a remarcat, iar ecuațiile hidrodinamicii s-au extins.
Teoria setului. Cantor
Conceptul de infinit în orice momenta provocat controverse, deoarece nu a putut fi nici dovedit, nici infirmat. În contextul matematicii, care a funcționat cu postulate strict verificate, acest lucru s-a manifestat cel mai clar, mai ales că aspectul teologic mai avea greutate în știință.
Totuși, datorită muncii matematicianului Georg Kantor, totul a căzut la loc în timp. El a demonstrat că există un număr infinit de mulțimi infinite și că câmpul R este mai mare decât câmpul N, chiar dacă ambele nu au sfârșit. La mijlocul secolului al XIX-lea, ideile lui au fost numite cu voce tare prostii și o crimă împotriva canoanelor clasice, de nezdruncinat, dar timpul a pus totul la locul său.
Proprietăți de bază ale câmpului R
Numerele reale au nu numai aceleași proprietăți ca și submulțimile care sunt incluse în ele, dar sunt și completate de altele datorită dimensiunii elementelor lor:
- Zero există și aparține câmpului R. c + 0=c pentru orice c din R.
- Zero există și aparține câmpului R. c x 0=0 pentru orice c din R.
- Relația c: d pentru d ≠ 0 există și este valabilă pentru orice c, d din R.
- Câmpul R este ordonat, adică dacă c ≦ d, d ≦ c, atunci c=d pentru orice c, d din R.
- Adunarea în câmpul R este comutativă, adică c + d=d + c pentru orice c, d din R.
- Înmulțirea în câmpul R este comutativă, adică c x d=d x c pentru orice c, d din R.
- Adăugarea în câmpul R este asociativă, adică (c + d) + f=c + (d + f) pentru orice c, d, f din R.
- Înmulțirea în câmpul R este asociativă, adică (c x d) x f=c x (d x f) pentru orice c, d, f din R.
- Pentru fiecare număr din câmpul R, există un opus, astfel încât c + (-c)=0, unde c, -c este din R.
- Pentru fiecare număr din câmpul R există inversul său, astfel încât c x c-1 =1, unde c, c-1 de la R.
- Unitatea există și aparține lui R, deci c x 1=c, pentru orice c din R.
- Legea distribuției este valabilă, deci c x (d + f)=c x d + c x f, pentru orice c, d, f din R.
- În câmpul R, zero nu este egal cu unu.
- Câmpul R este tranzitiv: dacă c ≦ d, d ≦ f, atunci c ≦ f pentru orice c, d, f din R.
- În câmpul R, ordinea și adunarea sunt legate: dacă c ≦ d, atunci c + f ≦ d + f pentru orice c, d, f din R.
- În câmpul R, ordinea și înmulțirea sunt legate: dacă 0 ≦ c, 0 ≦ d, atunci 0 ≦ c x d pentru orice c, d din R.
- Atât numerele reale negative, cât și cele pozitive sunt continue, adică pentru orice c, d din R, există un f din R astfel încât c ≦ f ≦ d.
Modul în câmpul R
Numerele reale includ modulul.
Notat ca |f| pentru orice f din R. |f|=f dacă 0 ≦ f și |f|=-f dacă 0 > f. Dacă luăm în considerare modulul ca o mărime geometrică, atunci este distanța parcursă - nu contează dacă ați „trecut” de la zero la minus sau înainte la plus.
Numere complexe și reale. Care sunt asemănările și care sunt diferențele?
În mare, numerele complexe și reale sunt unul și același, cu excepția faptului căunitatea imaginară i, al cărei pătrat este -1. Elementele câmpurilor R și C pot fi reprezentate prin următoarea formulă:
c=d + f x i, unde d, f aparțin câmpului R și i este unitatea imaginară
Pentru a obține c de la R în acest caz, f este pur și simplu setat egal cu zero, adică rămâne doar partea reală a numărului. Datorită faptului că câmpul numerelor complexe are același set de proprietăți ca și câmpul numerelor reale, f x i=0 dacă f=0.
În ceea ce privește diferențele practice, de exemplu, în câmpul R, ecuația pătratică nu se rezolvă dacă discriminantul este negativ, în timp ce câmpul C nu impune o astfel de restricție datorită introducerii unității imaginare i.
Rezultate
„Cărămizile” axiomelor și postulatelor pe care se bazează matematica nu se schimbă. Datorită creșterii informațiilor și introducerii de noi teorii, pe unele dintre ele sunt așezate următoarele „cărămizi”, care în viitor pot deveni baza pentru următorul pas. De exemplu, numerele naturale, în ciuda faptului că sunt o submulțime a câmpului real R, nu își pierd relevanța. Pe ele se bazează toată aritmetica elementară, cu care începe cunoașterea umană a lumii.
Din punct de vedere practic, numerele reale arată ca o linie dreaptă. Pe el puteți alege direcția, desemna originea și pasul. O linie dreaptă este formată dintr-un număr infinit de puncte, fiecare dintre ele corespunde unui singur număr real, indiferent dacă este rațional sau nu. Din descriere reiese clar că vorbim despre un concept pe care se construiesc atât matematica în general, cât și analiza matematică în general.special.
