Ce sunt variabilele? Variabilă la matematică

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-02 17:54

Importanța variabilelor în matematică este mare, deoarece pe parcursul existenței sale, oamenii de știință au reușit să facă multe descoperiri în acest domeniu, iar pentru a enunța pe scurt și clar cutare sau cutare teoremă, folosim variabile pentru a scrie formulele corespunzătoare.. De exemplu, teorema lui Pitagora asupra unui triunghi dreptunghic: a² =b² + c^{2. Cum să scrieți de fiecare dată când rezolvați o problemă: conform teoremei lui Pitagora, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor - scriem acest lucru cu o formulă și totul devine imediat clar.}

Deci, acest articol va discuta despre ce sunt variabilele, tipurile și proprietățile acestora. Se vor lua în considerare și diverse expresii matematice: inegalități, formule, sisteme și algoritmi pentru soluționarea lor.

Concept variabil

În primul rând, ce este o variabilă? Aceasta este o valoare numerică care poate lua multe valori. Nu poate fi constantă, deoarece în diferite probleme și ecuații, pentru comoditate, luăm soluții canumere variabile diferite, adică, de exemplu, z este o desemnare generală pentru fiecare dintre cantitățile pentru care este luat. De obicei, ele sunt notate cu litere ale alfabetului latin sau grecesc (x, y, a, b și așa mai departe).

Există diferite tipuri de variabile. Acestea stabilesc atât unele mărimi fizice - calea (S), timpul (t), cât și valori pur și simplu necunoscute în ecuații, funcții și alte expresii.

De exemplu, există o formulă: S=Vt. Aici, variabilele denotă anumite cantități legate de lumea reală - calea, viteza și timpul.

Și există o ecuație de forma: 3x - 16=12x. Aici, x este deja luat ca un număr abstract care are sens în această notație.

Tipuri de cantități

Sumă înseamnă ceva care exprimă proprietățile unui anumit obiect, substanță sau fenomen. De exemplu, temperatura aerului, greutatea unui animal, procentul de vitamine dintr-o tabletă - toate acestea sunt cantități ale căror valori numerice pot fi calculate.

Fiecare cantitate are propriile sale unități de măsură, care împreună formează un sistem. Se numește sistem numeric (SI).

Ce sunt variabilele și constantele? Luați în considerare exemplele specifice.

Să luăm mișcarea uniformă rectilinie. Un punct din spațiu se mișcă de fiecare dată cu aceeași viteză. Adică timpul și distanța se schimbă, dar viteza rămâne aceeași. În acest exemplu, timpul și distanța sunt variabile, iar viteza este constantă.

Sau, de exemplu, „pi”. Acesta este un număr irațional care continuă fără să se repeteo succesiune de cifre și nu poate fi scrisă în întregime, deci în matematică este exprimată printr-un simbol general acceptat care ia doar valoarea unei fracții infinite date. Adică, „pi” este o valoare constantă.

Istorie

Istoria notării variabilelor începe în secolul al XVII-lea cu omul de știință René Descartes.

A desemnat valorile cunoscute cu primele litere ale alfabetului: a, b și așa mai departe, iar pentru necunoscut a sugerat folosirea ultimelor litere: x, y, z. Este de remarcat faptul că Descartes considera astfel de variabile numere nenegative, iar atunci când se confrunta cu parametri negativi, punea un semn minus în fața variabilei sau, dacă nu se știa ce semn este numărul, o elipsă. Dar, de-a lungul timpului, numele variabilelor au început să desemneze numere de orice semn, iar acest lucru a început cu matematicianul Johann Hudde.

Cu variabile, calculele la matematică sunt mai ușor de rezolvat, pentru că, de exemplu, cum rezolvăm acum ecuații biquadratice? Introducem o variabilă. De exemplu:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Pentru x2 luăm niște k, iar ecuația devine clară:

x2=k, pentru k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Asta aduce introducerea variabilelor la matematică.

Inegalități, exemple de soluții

O inegalitate este o înregistrare în care două expresii matematice sau două numere sunt legate prin semne de comparație:, ≦, ≧. Sunt stricte și sunt indicate prin semne sau non-strict cu semne ≦, ≧.

Pentru prima dată, aceste semne au fost introduseThomas Harriot. După moartea lui Thomas, cartea sa cu aceste notații a fost publicată, matematicienilor le-au plăcut și, în timp, au devenit utilizate pe scară largă în calculele matematice.

Există mai multe reguli de urmat atunci când rezolvați inegalitățile cu o singură variabilă:

Când transferați un număr dintr-o parte a inegalității în alta, schimbați-i semnul în opus.
La înmulțirea sau împărțirea părților unei inegalități cu un număr negativ, semnele acestora sunt inversate.
Dacă înmulțiți sau împărțiți ambele părți ale inegalității cu un număr pozitiv, obțineți o inegalitate egală cu cea inițială.

Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor valorilor valide pentru o variabilă.

Exemplu cu o singură variabilă:

10x - 50 > 150

Rezolvăm ca o ecuație liniară normală - mutăm termenii cu o variabilă la stânga, fără o variabilă - la dreapta și dăm termeni similari:

10x > 200

Împărțim ambele părți ale inegalității la 10 și obținem:

x > 20

Pentru claritate, în exemplul rezolvării unei inegalități cu o variabilă, trageți o linie numerică, marcați pe ea punctul străpuns 20, deoarece inegalitatea este strictă, iar acest număr nu este inclus în setul soluțiilor sale.

Soluția acestei inegalități este intervalul (20; +∞).

Rezolvarea unei inegalități nestricte se realizează în același mod ca și una strictă:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Dar există o excepție. O înregistrare de forma x ≧ 5 trebuie înțeleasă după cum urmează: x este mai mare sau egal cu cinci, ceea ce înseamnănumărul cinci este inclus în setul tuturor soluțiilor inegalității, adică atunci când scriem răspunsul, punem o paranteză dreptă în fața numărului cinci.

x ∈ [5; +∞)

Inegalități pătrate

Dacă luăm o ecuație pătratică de forma ax2 + bx +c=0 și schimbăm semnul egal cu semnul inegalității din ea, atunci vom obține în consecință o inegalitate pătratică.

Pentru a rezolva o inegalitate patratică, trebuie să fiți capabil să rezolvați ecuații patratice.

y=ax2 + bx + c este o funcție pătratică. O putem rezolva folosind discriminantul sau folosind teorema Vieta. Amintiți-vă cum sunt rezolvate aceste ecuații:

1) y=x2 + 12x + 11 - funcția este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece semnul coeficientului „a” este pozitiv.

2) x2 + 12x + 11=0 - egalați cu zero și rezolvați folosind discriminantul.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 rădăcini

Conform formulei rădăcinilor ecuației pătratice, obținem:

x₁ =-1, x_2=-11

Sau puteți rezolva această ecuație folosind teorema Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Folosind metoda de selecție, obținem aceleași rădăcini ale ecuației.

Parabola

Deci, prima modalitate de a rezolva o inegalitate pătratică este o parabolă. Algoritmul de rezolvare este următorul:

1. Determinați unde sunt îndreptate ramurile parabolei.

2. Echivalează funcția cu zero și găsește rădăcinile ecuației.

3. Construim o dreaptă numerică, marchem rădăcinile pe ea, desenăm o parabolă și găsim decalajul de care avem nevoie, în funcție de semnul inegalității.

Rezolvați inegalitatea x2 + x - 12 > 0

Scrieți ca funcție:

1) y=x2 + x - 12 - parabolă, ramificații în sus.

Setat la zero.

2) x2 + x -12=0

În continuare, rezolvăm ca o ecuație pătratică și găsim zerourile funcției:

x₁ =3, x_2=-4

3) Desenați o linie numerică cu punctele 3 și -4 pe ea. Parabola va trece prin ele, se ramifică și răspunsul la inegalitate va fi un set de valori pozitive, adică (-∞; -4), (3; +∞).

Metoda intervalului

A doua cale este metoda de spațiere. Algoritm de rezolvare:

1. Găsiți rădăcinile ecuației pentru care inegalitatea este egală cu zero.

2. Le marcam pe linia numerică. Astfel, este împărțit în mai multe intervale.

3. Determinați semnul oricărui interval.

4. Punem semne la intervalele rămase, schimbându-le după unu.

Rezolvați inegalitatea (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Zerouri de inegalitate: 4, 5 și -7.

2) Desenați-le pe linia numerică.

3) Determinați semnele intervalelor.

Răspuns: (-∞; -7]; [4; 5].

Rezolvați încă o inegalitate: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zerouri de inegalitate: 0, 2, -2 și 1.

2. Marcați-le pe linia numerică.

3. Determinați semnele de interval.

Linia este împărțită în intervale - de la -2 la 0, de la 0 la 1, de la 1 la 2.

Ia valoarea pe primul interval - (-1). Înlocuitor în inegalitate. Cu această valoare, inegalitatea devine pozitivă, ceea ce înseamnă că semnul de pe acest interval va fi +.

În continuare, pornind de la primul gol, aranjam semnele, schimbându-le după una.

Inegalitatea este mai mare decât zero, adică trebuie să găsiți un set de valori pozitive pe linie.

Răspuns: (-2; 0), (1; 2).

Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații cu două variabile este două ecuații unite printr-o acoladă pentru care este necesar să se găsească o soluție comună.

Sistemele pot fi echivalente dacă soluția generală a unuia dintre ele este soluția celeil alte sau ambele nu au soluții.

Vom studia soluția sistemelor de ecuații cu două variabile. Există două moduri de a le rezolva - metoda substituției sau metoda algebrică.

Metoda algebrică

Pentru a rezolva sistemul prezentat în imagine folosind această metodă, trebuie mai întâi să înmulțiți una dintre părțile sale cu un astfel de număr, astfel încât ulterior să puteți anula reciproc o variabilă din ambele părți ale ecuației. Aici înmulțim cu trei, trasăm o linie sub sistem și adunăm părțile acestuia. Ca rezultat, x-urile devin identice ca modul, dar opus ca semn, iar noi le reducem. În continuare, obținem o ecuație liniară cu o variabilă și o rezolvăm.

Am găsit Y, dar nu ne putem opri aici, pentru că nu l-am găsit încă pe X. SubstituiY la partea din care va fi convenabil să retrageți X, de exemplu:

-x + 5y=8, cu y=1

-x + 5=8

Rezolvați ecuația rezultată și găsiți x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Principalul lucru în soluția sistemului este să notezi corect răspunsul. Mulți studenți fac greșeala de a scrie:

Răspuns: -3, 1.

Dar aceasta este o intrare greșită. La urma urmei, așa cum am menționat deja mai sus, atunci când rezolvăm un sistem de ecuații, căutăm o soluție generală pentru părțile sale. Răspunsul corect ar fi:

(-3; 1)