Elevul întâlnește cel mai des suprafețe de ordinul 2 în primul an. La început, sarcinile pe această temă pot părea simple, dar pe măsură ce studiezi matematica superioară și aprofundezi latura științifică, poți în sfârșit să nu te mai orientezi spre ceea ce se întâmplă. Pentru a preveni acest lucru, este necesar nu numai să memorați, ci și să înțelegeți cum se obține cutare sau cutare suprafață, cum o afectează modificarea coeficienților și locația sa în raport cu sistemul de coordonate original și cum să găsiți un nou sistem. (una în care centrul său coincide cu coordonatele originii, iar axa de simetrie este paralelă cu una dintre axele de coordonate). Să începem de la început.
Definiție
GMT se numește suprafață de ordinul 2, ale cărei coordonate satisface ecuația generală de următoarea formă:
F(x, y, z)=0.
Este clar că fiecare punct aparținând suprafeței trebuie să aibă trei coordonate într-o bază desemnată. Deși în unele cazuri locul punctelor poate degenera, de exemplu, într-un plan. Înseamnă doar că una dintre coordonate este constantă și egală cu zero în întregul interval de valori acceptabile.
Forma completă pictată a egalității menționate mai sus arată astfel:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – unele constante, x, y, z – variabile corespunzătoare coordonatelor afine ale unui punct. În acest caz, cel puțin unul dintre factorii constanți nu trebuie să fie egal cu zero, adică niciun punct nu va corespunde ecuației.
În marea majoritate a exemplelor, mulți factori numerici sunt încă identic egali cu zero, iar ecuația este mult simplificată. În practică, determinarea dacă un punct aparține unei suprafețe nu este dificilă (este suficient să substituiți coordonatele sale în ecuație și să verificați dacă identitatea este respectată). Punctul cheie într-o astfel de lucrare este aducerea acesteia din urmă la o formă canonică.
Ecuația scrisă mai sus definește orice suprafață (toate enumerate mai jos) de ordinul al 2-lea. Vom lua în considerare exemple de mai jos.
Tipuri de suprafețe de ordinul 2
Ecuațiile suprafețelor de ordinul 2 diferă doar în valorile coeficienților Anm. Din vedere generală, pentru anumite valori ale constantelor se pot obține diferite suprafețe, clasificate astfel:
- Cilindro.
- Tip eliptic.
- Tip hiperbolic.
- Tip conic.
- Tip parabolic.
- Avioane.
Fiecare dintre tipurile enumerate are o formă naturală și imaginară: în forma imaginară, locul punctelor reale fie degenerează într-o figură mai simplă, fie este absent cu totul.
Cilindro
Acesta este cel mai simplu tip, deoarece o curbă relativ complexă se află doar la bază, acționând ca un ghid. Generatoarele sunt drepte perpendiculare pe planul în care se află baza.
Graficul arată un cilindru circular, un caz special al unui cilindru eliptic. În planul XY, proiecția sa va fi o elipsă (în cazul nostru, un cerc) - un ghid, iar în XZ - un dreptunghi - deoarece generatoarele sunt paralele cu axa Z. Pentru a o obține din ecuația generală, aveți nevoie de pentru a da coeficienților următoarele valori:
În locul simbolurilor obișnuite x, y, z, x cu un număr de serie este folosit - nu contează.
De fapt, 1/a2și celel alte constante indicate aici sunt aceiași coeficienți indicați în ecuația generală, dar se obișnuiește să le scrieți în această formă - aceasta este reprezentarea canonică. În plus, va fi folosită doar o astfel de notație.
Așa este definit un cilindru hiperbolic. Schema este aceeași - hiperbola va fi ghidul.
y2=2px
Un cilindru parabolic este definit oarecum diferit: forma sa canonică include un coeficient p, numit parametru. De fapt, coeficientul este egal cu q=2p, dar se obișnuiește să-l împarți în cei doi factori prezentați.
Există un alt tip de cilindru: imaginar. Niciun punct real nu aparține unui astfel de cilindru. Este descris de ecuațiecilindru eliptic, dar în loc de unitate este -1.
Tip eliptic
Un elipsoid poate fi întins de-a lungul uneia dintre axe (de-a lungul căreia depinde de valorile constantelor a, b, c, indicate mai sus; este evident că un coeficient mai mare va corespunde axei mai mari).
Există și un elipsoid imaginar - cu condiția ca suma coordonatelor înmulțită cu coeficienții să fie -1:
Hiperboloizi
Când apare un minus într-una dintre constante, ecuația elipsoidală se transformă în ecuația unui hiperboloid cu o singură foaie. Trebuie înțeles că acest minus nu trebuie să fie localizat înaintea coordonatei x3! Determină doar care dintre axe va fi axa de rotație a hiperboloidului (sau paralelă cu aceasta, deoarece atunci când apar termeni suplimentari în pătrat (de exemplu, (x-2)2)) centrul figurii se deplasează, ca urmare, suprafața se deplasează paralel cu axele de coordonate). Acest lucru se aplică tuturor suprafețelor de ordinul 2.
În plus, trebuie să înțelegeți că ecuațiile sunt prezentate în formă canonică și pot fi modificate prin variarea constantelor (cu semnul păstrat!); în timp ce forma lor (hiperboloid, con și așa mai departe) va rămâne aceeași.
Această ecuație este deja dată de un hiperboloid cu două foi.
Suprafață conică
Nu există nicio unitate în ecuația conului - egalitate cu zero.
Numai o suprafață conică mărginită se numește con. Imaginea de mai jos arată că, de fapt, vor exista două așa-numite conuri pe diagramă.
Notă importantă: în toate ecuațiile canonice considerate, constantele sunt luate implicit pozitiv. În caz contrar, semnul poate afecta graficul final.
Planele de coordonate devin planurile de simetrie ale conului, centrul de simetrie este situat la origine.
Există doar plusuri în ecuația conului imaginar; deține un singur punct real.
Paraboloizi
Suprafețele de ordinul 2 în spațiu pot lua forme diferite chiar și cu ecuații similare. De exemplu, există două tipuri de paraboloizi.
x2/a2+y2/b2=2z
Un paraboloid eliptic, atunci când axa Z este perpendiculară pe desen, va fi proiectat într-o elipsă.
x2/a2-y2/b2=2z
Paraboloid hiperbolic: secțiunile cu plane paralele cu ZY vor produce parabole, iar secțiunile cu plane paralele cu XY vor produce hiperbole.
Avioane care se intersectează
Există cazuri când suprafețele de ordinul 2 degenerează într-un plan. Aceste avioane pot fi aranjate în diferite moduri.
Luați în considerare mai întâi planurile care se intersectează:
x2/a2-y2/b2=0
Această modificare a ecuației canonice are ca rezultat doar două planuri care se intersectează (imaginar!); toate punctele reale sunt pe axa coordonatei care lipsește în ecuație (în canonic - axa Z).
Avioane paralele
y2=a2
Când există o singură coordonată, suprafețele de ordinul 2 degenerează într-o pereche de plane paralele. Amintiți-vă, orice altă variabilă poate lua locul lui Y; atunci se vor obține plane paralele cu alte axe.
y2=−a2
În acest caz, ele devin imaginare.
Avioane care coincid
y2=0
Cu o ecuație atât de simplă, o pereche de avioane degenerează într-una singură - ele coincid.
Nu uitați că în cazul unei baze tridimensionale, ecuația de mai sus nu definește linia dreaptă y=0! Îi lipsesc celel alte două variabile, dar asta înseamnă doar că valoarea lor este constantă și egală cu zero.
Clădire
Una dintre cele mai dificile sarcini pentru un student este construirea suprafețelor de ordinul 2. Este și mai dificil să treci de la un sistem de coordonate la altul, având în vedere unghiurile curbei în raport cu axele și decalajul centrului. Să repetăm cum să determinăm în mod consecvent vederea viitoare a desenului cu o analizămod.
Pentru a construi o suprafață de comandă a doua, aveți nevoie de:
- aduce ecuația la forma canonică;
- determinați tipul de suprafață studiat;
- construct pe baza valorilor coeficientului.
Mai jos sunt toate tipurile luate în considerare:
Pentru a consolida, haideți să descriem în detaliu un exemplu de acest tip de sarcină.
Exemple
Să presupunem că există o ecuație:
3(x2-2x+1)+6a2+2z2+ 60y+144=0
Să o aducem la forma canonică. Să evidențiem pătratele complete, adică aranjam termenii disponibili în așa fel încât să fie expansiunea pătratului sumei sau diferenței. De exemplu: dacă (a+1)2=a2+2a+1, atunci a2+2a +1=(a+1)2. Vom efectua a doua operațiune. În acest caz, nu este necesar să deschideți parantezele, deoarece acest lucru va complica doar calculele, dar este necesar să eliminați factorul comun 6 (în paranteze cu pătratul complet al lui Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Variabila z apare în acest caz o singură dată - o puteți lăsa în pace pentru moment.
Analizăm ecuația în această etapă: toate necunoscutele sunt precedate de un semn plus; când este împărțit la șase, unul rămâne. Prin urmare, avem o ecuație care definește un elipsoid.
Rețineți că 144 a fost luat în considerare în 150-6, după care -6 a fost mutat la dreapta. De ce a trebuit să se facă așa? Evident, cel mai mare divizor din acest exemplu este -6, astfel încât după împărțirea la acestaunul este lăsat în dreapta, este necesar să „amânați” exact 6 din 144 (faptul că unul ar trebui să fie în dreapta este indicat de prezența unui termen liber - o constantă neînmulțită cu o necunoscută).
Împărțiți totul la șase și obțineți ecuația canonică a elipsoidului:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
În clasificarea utilizată anterior a suprafețelor de ordinul 2, se ia în considerare un caz special când centrul figurii se află la originea coordonatelor. În acest exemplu, este compensat.
Presumăm că fiecare paranteză cu necunoscute este o variabilă nouă. Adică: a=x-1, b=y+5, c=z. În noile coordonate, centrul elipsoidului coincide cu punctul (0, 0, 0), deci, a=b=c=0, de unde: x=1, y=-5, z=0. În coordonatele inițiale, centrul figurii se află în punctul (1, -5, 0).
Elipsoidul se va obține din două elipse: prima în planul XY și a doua în planul XZ (sau YZ - nu contează). Coeficienții cu care sunt împărțite variabilele sunt la pătrat în ecuația canonică. Prin urmare, în exemplul de mai sus, ar fi mai corect să se împartă la rădăcina lui doi, unu și rădăcina lui trei.
Axa minoră a primei elipse, paralelă cu axa Y, este două. Axa majoră paralelă cu axa x este două rădăcini a două. Axa minoră a celei de-a doua elipse, paralelă cu axa Y, rămâne aceeași - este egală cu două. Iar axa majoră, paralelă cu axa Z, este egală cu două rădăcini a lui trei.
Cu ajutorul datelor obținute din ecuația inițială prin conversia la forma canonică, putem desena un elipsoid.
Rezumat
Acoperit în acest articolsubiectul este destul de extins, dar, de fapt, după cum puteți vedea acum, nu foarte complicat. Dezvoltarea lui, de fapt, se termină în momentul în care memorezi numele și ecuațiile suprafețelor (și, bineînțeles, cum arată acestea). În exemplul de mai sus, am discutat fiecare pas în detaliu, dar aducerea ecuației la forma canonică necesită cunoștințe minime de matematică superioară și nu ar trebui să provoace dificultăți elevului.
Analiza viitorului program privind egalitatea existentă este deja o sarcină mai dificilă. Dar pentru soluția sa de succes, este suficient să înțelegem cum sunt construite curbele de ordinul doi corespunzătoare - elipse, parabole și altele.
Cazuri de degenerare - o secțiune și mai simplă. Datorită absenței unor variabile, nu doar calculele sunt simplificate, așa cum am menționat mai devreme, ci și construcția în sine.
De îndată ce puteți numi cu încredere toate tipurile de suprafețe, variați constantele, transformând graficul într-o formă sau alta - subiectul va fi stăpânit.
Succes în studii!
