Transformarea Fourier este o transformare care compară funcțiile unei variabile reale. Această operație se efectuează de fiecare dată când percepem sunete diferite. Urechea efectuează un „calcul” automat, pe care conștiința noastră este capabilă să-l efectueze numai după ce a studiat secțiunea corespunzătoare a matematicii superioare. Organul auzului uman construiește o transformare, în urma căreia sunetul (mișcarea oscilativă a particulelor condiționate într-un mediu elastic care se propagă sub formă de undă într-un mediu solid, lichid sau gazos) este furnizat sub forma unui spectru de valori succesive. al nivelului de volum al tonurilor de diferite înălțimi. După aceea, creierul transformă aceste informații într-un sunet familiar tuturor.
Transformată Fourier matematică
Transformarea undelor sonore sau a altor procese oscilatorii (de la radiația luminoasă și marea oceanului până la cicluri de activitate stelară sau solară) poate fi realizată și prin metode matematice. Deci, folosind aceste tehnici, este posibil să se descompună funcții prin reprezentarea proceselor oscilatorii ca un set de componente sinusoidale, adică curbe ondulate caremergi de jos în sus, apoi înapoi în jos, ca un val de mare. Transformată Fourier - o transformare a cărei funcție descrie faza sau amplitudinea fiecărei sinusoide corespunzătoare unei anumite frecvențe. Faza este punctul de pornire al curbei, iar amplitudinea este înălțimea acesteia.
Transformata Fourier (exemplele sunt prezentate în fotografie) este un instrument foarte puternic care este folosit în diferite domenii ale științei. În unele cazuri, este folosit ca mijloc de rezolvare a ecuațiilor destul de complexe care descriu procese dinamice care au loc sub influența energiei luminii, termice sau electrice. În alte cazuri, vă permite să determinați componentele regulate în semnale oscilatorii complexe, datorită cărora puteți interpreta corect diferite observații experimentale din chimie, medicină și astronomie.
Context istoric
Prima persoană care a aplicat această metodă a fost matematicianul francez Jean Baptiste Fourier. Transformarea, numită ulterior după el, a fost folosită inițial pentru a descrie mecanismul de conducere a căldurii. Fourier și-a petrecut întreaga viață adultă studiind proprietățile căldurii. El a adus o contribuție uriașă la teoria matematică a determinării rădăcinilor ecuațiilor algebrice. Fourier a fost profesor de analiză la Școala Politehnică, secretar al Institutului de Egiptologie, a fost în serviciul imperial, unde s-a remarcat în timpul construcției drumului spre Torino (sub conducerea sa, peste 80 de mii de kilometri pătrați de malarie).mlaștini). Totuși, toată această activitate viguroasă nu l-a împiedicat pe om de știință să facă analize matematice. În 1802, el a derivat o ecuație care descrie propagarea căldurii în solide. În 1807, omul de știință a descoperit o metodă de rezolvare a acestei ecuații, care a fost numită „transformata Fourier”.
Analiza conductibilității termice
Omul de știință a aplicat o metodă matematică pentru a descrie mecanismul conducției căldurii. Un exemplu convenabil, în care nu există dificultăți de calcul, este propagarea energiei termice printr-un inel de fier scufundat într-o parte într-un incendiu. Pentru a efectua experimente, Fourier a încălzit o parte din acest inel la roșu și a îngropat-o în nisip fin. După aceea, a făcut măsurători de temperatură pe partea opusă a acesteia. Inițial, distribuția căldurii este neregulată: o parte a inelului este rece, iar ceal altă este fierbinte; se poate observa un gradient de temperatură ascuțit între aceste zone. Cu toate acestea, în procesul de propagare a căldurii pe întreaga suprafață a metalului, aceasta devine mai uniformă. Deci, în curând acest proces ia forma unei sinusoide. La început, graficul crește ușor și, de asemenea, scade ușor, exact conform legilor de modificare a funcției cosinus sau sinus. Valul se nivelează treptat și, ca urmare, temperatura devine aceeași pe întreaga suprafață a inelului.
Autorul acestei metode a sugerat că distribuția inițială neregulată poate fi descompusă într-un număr de sinusoide elementare. Fiecare dintre ele va avea propria sa fază (poziția inițială) și propria sa temperaturămaxim. Mai mult, fiecare astfel de componentă se schimbă de la un minim la un maxim și înapoi la o revoluție completă în jurul inelului de un număr întreg de ori. O componentă cu o perioadă a fost numită armonică fundamentală, iar o valoare cu două sau mai multe perioade a fost numită a doua și așa mai departe. Deci, funcția matematică care descrie temperatura maximă, faza sau poziția se numește transformată Fourier a funcției de distribuție. Omul de știință a redus o singură componentă, care este dificil de descris matematic, la un instrument ușor de utilizat - seria cosinus și sinus, care se însumează pentru a da distribuția originală.
Esența analizei
Aplicând această analiză la transformarea propagării căldurii printr-un obiect solid care are formă inelară, matematicianul a motivat că creșterea perioadelor componentei sinusoidale ar duce la decăderea rapidă a acesteia. Acest lucru se vede clar în armonicile fundamentale și a doua. În cea din urmă, temperatura atinge valorile maxime și minime de două ori într-o singură trecere, iar în prima, o singură dată. Se pare că distanța parcursă de căldură în a doua armonică va fi jumătate față de cea în fundamentală. În plus, și gradientul în al doilea va fi de două ori mai abrupt decât în primul. Prin urmare, deoarece fluxul de căldură mai intens parcurge o distanță de două ori mai scurtă, această armonică se va dezintegra de patru ori mai repede decât fundamentala în funcție de timp. În viitor, acest proces va fi și mai rapid. Matematicianul credea că această metodă vă permite să calculați procesul distribuției inițiale a temperaturii în timp.
Provocare pentru contemporani
Algoritmul de transformare Fourier a contestat fundamentele teoretice ale matematicii la acea vreme. La începutul secolului al XIX-lea, cei mai importanți oameni de știință, inclusiv Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre și Biot, nu au acceptat afirmația sa că distribuția inițială a temperaturii este descompusă în componente sub forma unei armonice fundamentale și a unor frecvențe superioare. Cu toate acestea, Academia de Științe nu a putut ignora rezultatele obținute de matematician și i-a acordat un premiu pentru teoria legilor conducerii căldurii, precum și pentru compararea acesteia cu experimentele fizice. În abordarea lui Fourier, principala obiecție a fost faptul că funcția discontinuă este reprezentată de suma mai multor funcții sinusoidale care sunt continue. La urma urmei, ei descriu linii rupte drepte și curbe. Contemporanii savantului nu s-au confruntat niciodată cu o situație similară, când funcțiile discontinue erau descrise printr-o combinație de funcții continue, cum ar fi pătratice, liniare, sinusoidale sau exponențiale. În cazul în care matematicianul a avut dreptate în afirmațiile sale, atunci suma unei serii infinite a unei funcții trigonometrice ar trebui redusă la una exactă în trepte. La acea vreme, o astfel de afirmație părea absurdă. Cu toate acestea, în ciuda îndoielilor, unii cercetători (de exemplu Claude Navier, Sophie Germain) au extins sfera cercetării și le-au dus dincolo de analiza distribuției energiei termice. Între timp, matematicienii au continuat să se lupte cu întrebarea dacă suma mai multor funcții sinusoidale poate fi redusă la o reprezentare exactă a uneia discontinue.
200 de aniistoric
Această teorie a evoluat de-a lungul a două secole, astăzi s-a format în sfârșit. Cu ajutorul acestuia, funcțiile spațiale sau temporale sunt împărțite în componente sinusoidale, care au propria frecvență, fază și amplitudine. Această transformare se obține prin două metode matematice diferite. Prima dintre ele este utilizată atunci când funcția originală este continuă, iar a doua - când este reprezentată de un set de modificări individuale discrete. Dacă expresia este obținută din valori care sunt definite prin intervale discrete, atunci ea poate fi împărțită în mai multe expresii sinusoidale cu frecvențe discrete - de la cea mai joasă și apoi de două ori, de trei ori și așa mai sus decât cea principală. O astfel de sumă se numește seria Fourier. Dacă expresiei inițiale i se dă o valoare pentru fiecare număr real, atunci aceasta poate fi descompusă în mai multe sinusoidale de toate frecvențele posibile. Este denumită în mod obișnuit integrala Fourier, iar soluția implică transformări integrale ale funcției. Indiferent de modul în care se obține conversia, pentru fiecare frecvență trebuie specificate două numere: amplitudine și frecvență. Aceste valori sunt exprimate ca un singur număr complex. Teoria expresiilor variabilelor complexe, împreună cu transformata Fourier, a făcut posibilă efectuarea de calcule în proiectarea diferitelor circuite electrice, analiza vibrațiilor mecanice, studiul mecanismului de propagare a undelor și multe altele.
Fourier Transform Today
Astăzi, studiul acestui proces se reduce în principal la găsirea eficientămetode de trecere de la o funcție la forma ei transformată și invers. Această soluție se numește transformată Fourier directă și inversă. Ce înseamnă? Pentru a determina integrala și a produce o transformată Fourier directă, se pot folosi metode matematice sau analitice. În ciuda faptului că apar anumite dificultăți la utilizarea lor în practică, majoritatea integralelor au fost deja găsite și incluse în cărțile de referință matematică. Metodele numerice pot fi folosite pentru a calcula expresii a căror formă se bazează pe date experimentale sau funcții ale căror integrale nu sunt disponibile în tabele și sunt dificil de prezentat sub formă analitică.
Înainte de apariția calculatoarelor, calculele unor astfel de transformări erau foarte plictisitoare, necesitau executarea manuală a unui număr mare de operații aritmetice, care depindeau de numărul de puncte care descriu funcția de undă. Pentru a facilita calculele, astăzi există programe speciale care au făcut posibilă implementarea unor noi metode analitice. Așa că, în 1965, James Cooley și John Tukey au creat un software care a devenit cunoscut sub numele de „Fast Fourier Transform”. Vă permite să economisiți timp pentru calcule prin reducerea numărului de înmulțiri în analiza curbei. Metoda transformării rapide Fourier se bazează pe împărțirea curbei într-un număr mare de valori uniforme ale eșantionului. În consecință, numărul de înmulțiri este înjumătățit cu aceeași scădere a numărului de puncte.
Aplicarea transformării Fourier
Acestprocesul este utilizat în diverse domenii ale științei: în teoria numerelor, fizică, procesarea semnalului, combinatorică, teoria probabilității, criptografie, statistică, oceanologie, optică, acustică, geometrie și altele. Posibilitățile bogate ale aplicării sale se bazează pe o serie de caracteristici utile, care sunt numite „Proprietăți transformate Fourier”. Luați în considerare.
1. Transformarea funcției este un operator liniar și, cu normalizarea corespunzătoare, este unitară. Această proprietate este cunoscută ca teorema lui Parseval sau, în general, teorema lui Plancherel sau dualismul lui Pontryagin.
2. Transformarea este reversibilă. În plus, rezultatul invers are aproape aceeași formă ca în soluția directă.
3. Expresiile de bază sinusoidale sunt funcții diferențiate proprii. Aceasta înseamnă că o astfel de reprezentare schimbă ecuațiile liniare cu coeficient constant în ecuații algebrice obișnuite.
4. Conform teoremei „convoluției”, acest proces transformă o operație complexă într-o înmulțire elementară.
5. Transformarea Fourier discretă poate fi calculată rapid pe un computer folosind metoda „rapidă”.
Varietăți ale transformării Fourier
1. Cel mai adesea, acest termen este folosit pentru a desemna o transformare continuă care oferă orice expresie integrabilă în pătrat ca o sumă de expresii exponențiale complexe cu frecvențe și amplitudini unghiulare specifice. Această specie are mai multe forme diferite, care potdiferă prin coeficienți constanți. Metoda continuă include un tabel de conversie, care poate fi găsit în cărțile de referință matematică. Un caz generalizat este o transformare fracțională, prin intermediul căreia procesul dat poate fi ridicat la puterea reală necesară.
2. Modul continuu este o generalizare a tehnicii timpurii a seriei Fourier definite pentru diverse funcții periodice sau expresii care există într-o zonă limitată și le reprezintă ca serii de sinusoide.
3. Transformată Fourier discretă. Această metodă este utilizată în tehnologia computerelor pentru calcule științifice și pentru procesarea semnalului digital. Pentru a efectua acest tip de calcul, este necesar să existe funcții care definesc puncte individuale, arii periodice sau mărginite pe o mulțime discretă în loc de integrale Fourier continue. Transformarea semnalului în acest caz este reprezentată ca suma sinusoidelor. În același timp, utilizarea metodei „rapide” face posibilă aplicarea unor soluții discrete la orice probleme practice.
4. Transformarea Fourier cu ferestre este o formă generalizată a metodei clasice. Spre deosebire de soluția standard, atunci când se utilizează spectrul semnalului, care este luat în întregul interval al existenței unei variabile date, aici prezintă un interes deosebit doar distribuția locală a frecvenței, cu condiția ca variabila inițială (timp) să fie păstrată..
5. Transformată Fourier bidimensională. Această metodă este utilizată pentru a lucra cu matrice de date bidimensionale. În acest caz, mai întâi transformarea este efectuată într-o direcție, apoi în altele.
Concluzie
Astăzi, metoda Fourier este ferm înrădăcinată în diverse domenii ale științei. De exemplu, în 1962, forma dublei helix ADN a fost descoperită folosind analiza Fourier combinată cu difracția de raze X. Acestea din urmă au fost concentrate pe cristale de fibre de ADN, drept urmare, imaginea care a fost obținută prin difracția radiației a fost înregistrată pe film. Această imagine a oferit informații despre valoarea amplitudinii atunci când se folosește transformata Fourier la o structură cristalină dată. Datele de fază au fost obținute prin compararea hărții de difracție a ADN-ului cu hărțile obținute din analiza structurilor chimice similare. Drept urmare, biologii au restaurat structura cristalului - funcția originală.
Transformatele Fourier joacă un rol imens în studiul fizicii spațiului, semiconductorilor și plasmei, acusticii microundelor, oceanografiei, radarului, seismologiei și cercetărilor medicale.
