Seria Fourier este o reprezentare a unei funcții luate în mod arbitrar cu o anumită perioadă ca serie. În termeni generali, această soluție se numește descompunerea unui element pe bază ortogonală. Extinderea funcțiilor într-o serie Fourier este un instrument destul de puternic pentru rezolvarea diferitelor probleme datorită proprietăților acestei transformări la integrare, diferențiere, precum și schimbarea unei expresii într-un argument și convoluție.
O persoană care nu este familiarizată cu matematica superioară, precum și cu lucrările savantului francez Fourier, cel mai probabil nu va înțelege ce sunt aceste „rânduri” și pentru ce sunt. Între timp, această transformare a devenit destul de densă în viața noastră. Este folosit nu numai de matematicieni, ci și de fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologi, oceanografi și mulți alții. Să aruncăm o privire mai atentă la lucrările marelui om de știință francez, care a făcut o descoperire înaintea timpului său.
Man and the Fourier Transform
Serii Fourier sunt una dintre metodele (împreună cu analiza și altele) ale transformării Fourier. Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude un sunet. Urechea noastră convertește automat sunetulvaluri. Mișcările oscilatorii ale particulelor elementare într-un mediu elastic sunt descompuse în rânduri (de-a lungul spectrului) de valori succesive ale nivelului de volum pentru tonuri de diferite înălțimi. Apoi, creierul transformă aceste date în sunete familiare nouă. Toate acestea se întâmplă în plus față de dorința sau conștiința noastră, de la sine, dar pentru a înțelege aceste procese, va dura câțiva ani pentru a studia matematica superioară.
Mai multe despre Transformarea Fourier
Transformarea Fourier poate fi efectuată prin metode analitice, numerice și alte metode. Serii Fourier se referă la modul numeric de descompunere a oricăror procese oscilatorii - de la maree oceanice și unde luminoase până la cicluri de activitate solară (și alte obiecte astronomice). Folosind aceste tehnici matematice, este posibilă analizarea funcțiilor, reprezentând orice procese oscilatorii ca o serie de componente sinusoidale care merg de la minim la maxim și invers. Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoidelor corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi folosit pentru a rezolva ecuații foarte complexe care descriu procese dinamice care au loc sub influența energiei termice, luminoase sau electrice. De asemenea, seriile Fourier fac posibilă izolarea componentelor constante în semnale oscilatorii complexe, ceea ce a făcut posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale obținute în medicină, chimie și astronomie.
Context istoric
Părintele fondator al acestei teoriiJean Baptiste Joseph Fourier este un matematician francez. Această transformare a fost ulterior numită după el. Inițial, omul de știință și-a aplicat metoda pentru a studia și explica mecanismele conducției căldurii - răspândirea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția neregulată inițială a unui val de căldură poate fi descompusă în cele mai simple sinusoide, fiecare dintre acestea având propria temperatură minimă și maximă, precum și propria sa fază. În acest caz, fiecare astfel de componentă va fi măsurată de la minim la maxim și invers. Funcția matematică care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecăreia dintre armonici, se numește transformată Fourier a expresiei distribuției temperaturii. Autorul teoriei a redus funcția de distribuție generală, care este dificil de descris matematic, la o serie foarte ușor de manipulat de funcții periodice cosinus și sinus care se adună la distribuția originală.
Principiul transformării și punctele de vedere ale contemporanilor
Contemporanii oamenilor de știință - matematicienii de frunte de la începutul secolului al XIX-lea - nu au acceptat această teorie. Principala obiecție a fost afirmația lui Fourier că o funcție discontinuă care descrie o linie dreaptă sau o curbă discontinuă poate fi reprezentată ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. Ca exemplu, luați în considerare „pasul” lui Heaviside: valoarea sa este zero la stânga decalajului și unu la dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric de variabila de timp când circuitul este închis. Contemporanii teoriei de la acea vreme nu întâlniseră niciodată așa cevao situație în care expresia discontinuă ar fi descrisă printr-o combinație de funcții obișnuite, continue, cum ar fi exponențiale, sinusoidale, liniare sau pătratice.
Ce i-a derutat pe matematicienii francezi în teoria Fourier?
La urma urmei, dacă matematicianul a avut dreptate în afirmațiile sale, atunci însumând seria Fourier trigonometrică infinită, puteți obține o reprezentare exactă a expresiei pasului, chiar dacă are mulți pași similari. La începutul secolului al XIX-lea, o astfel de afirmație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoielilor, mulți matematicieni au extins sfera studiului acestui fenomen, ducându-l dincolo de sfera studiilor de conductivitate termică. Cu toate acestea, cei mai mulți oameni de știință au continuat să agonisească întrebarea: „Poate suma unei serii sinusoidale să convergă la valoarea exactă a unei funcții discontinue?”
Convergența seriei Fourier: exemplu
Chestiunea convergenței se pune ori de câte ori este necesar să se însumeze serii infinite de numere. Pentru a înțelege acest fenomen, luați în considerare un exemplu clasic. Poți ajunge vreodată la perete dacă fiecare pas succesiv este jumătate din dimensiunea celui precedent? Să presupunem că ești la doi metri de poartă, primul pas te apropie de jumătatea drumului, următorul de marcajul trei sferturi, iar după al cincilea vei parcurge aproape 97 la sută din drum. Cu toate acestea, indiferent de câți pași ai face, nu vei atinge scopul propus în sens strict matematic. Folosind calcule numerice, se poate demonstra că până la urmă te poți apropia cât îți place.distanta mica specificata. Această dovadă este echivalentă cu demonstrarea faptului că valoarea sumei de o jumătate, un sfert etc. va tinde spre unu.
Întrebare de convergență: a doua venire sau aparatul lordului Kelvin
În mod repetat, această întrebare a fost ridicată la sfârșitul secolului al XIX-lea, când s-a încercat să fie folosite seriile Fourier pentru a prezice intensitatea fluxului și refluxului. În acest moment, Lord Kelvin a inventat un dispozitiv, care este un dispozitiv de calcul analogic care le-a permis marinarilor din flota militară și comercială să urmărească acest fenomen natural. Acest mecanism a determinat seturile de faze și amplitudini dintr-un tabel de înălțimi ale mareelor și momentele lor de timp corespunzătoare, măsurate cu atenție într-un anumit port în timpul anului. Fiecare parametru a fost o componentă sinusoidală a expresiei înălțimii mareei și a fost una dintre componentele obișnuite. Rezultatele măsurătorilor au fost introduse în calculatorul lui Lord Kelvin, care a sintetizat o curbă care a prezis înălțimea apei în funcție de timp pentru anul următor. Foarte curând au fost trasate curbe similare pentru toate porturile lumii.
Și dacă procesul este întrerupt de o funcție discontinuă?
La acea vreme, părea evident că un predictor de undă mare cu un număr mare de elemente de numărare ar putea calcula un număr mare de faze și amplitudini și astfel să ofere predicții mai precise. Cu toate acestea, s-a dovedit că această regularitate nu este observată în cazurile în care expresia mareelor, care urmeazăsintetiza, conținea un s alt ascuțit, adică era discontinuu. În cazul în care datele sunt introduse în dispozitiv din tabelul momentelor de timp, atunci acesta calculează mai mulți coeficienți Fourier. Funcția inițială este restabilită datorită componentelor sinusoidale (după coeficienții aflați). Discrepanța dintre expresia originală și cea restaurată poate fi măsurată în orice punct. Când se efectuează calcule și comparații repetate, se poate observa că valoarea celei mai mari erori nu scade. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de discontinuitate și tind la zero în orice alt punct. În 1899, acest rezultat a fost confirmat teoretic de Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.
Convergența seriei Fourier și dezvoltarea matematicii în general
Analiza Fourier nu este aplicabilă expresiilor care conțin un număr infinit de rafale într-un anumit interval. În general, seria Fourier, dacă funcția inițială este rezultatul unei măsurători fizice reale, converg întotdeauna. Întrebările legate de convergența acestui proces pentru clase specifice de funcții au condus la apariția de noi secțiuni în matematică, de exemplu, teoria funcțiilor generalizate. Este asociat cu nume precum L. Schwartz, J. Mikusinsky și J. Temple. În cadrul acestei teorii, a fost creată o bază teoretică clară și precisă pentru expresii precum funcția deltei Dirac (descrie o zonă a unei singure zone concentrată într-o vecinătate infinit de mică a unui punct) și Heaviside " Etapa". Datorită acestei lucrări, seria Fourier a devenit aplicabilărezolvarea de ecuații și probleme care implică concepte intuitive: sarcină punctiformă, masă punctuală, dipoli magnetici, precum și o sarcină concentrată pe un fascicul.
Metoda Fourier
Seria Fourier, în conformitate cu principiile interferenței, încep cu descompunerea formelor complexe în altele mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură se explică prin trecerea acestuia prin diferite obstacole din material termoizolant de formă neregulată sau o modificare a suprafeței pământului - un cutremur, o schimbare a orbitei unui corp ceresc - influența planete. De regulă, ecuații similare care descriu sisteme clasice simple sunt rezolvate elementar pentru fiecare undă individuală. Fourier a arătat că soluțiile simple pot fi, de asemenea, însumate pentru a da soluții la probleme mai complexe. În limbajul matematicii, seria Fourier este o tehnică de reprezentare a unei expresii ca sumă de armonici - cosinus și sinusoide. Prin urmare, această analiză este cunoscută și ca „analiza armonică”.
Seria Fourier - tehnica ideală înainte de „era computerelor”
Înainte de crearea tehnologiei informatice, tehnica Fourier era cea mai bună armă din arsenalul oamenilor de știință atunci când lucrau cu natura ondulată a lumii noastre. Seria Fourier într-o formă complexă permite rezolvarea nu numai a unor probleme simple care pot fi aplicate direct legile mecanicii lui Newton, ci și a ecuațiilor fundamentale. Majoritatea descoperirilor științei newtoniene din secolul al XIX-lea au fost posibile numai prin tehnica lui Fourier.
Seria Fourier azi
Odată cu dezvoltarea calculatoarelor cu transformată Fourierridicat la un nivel cu totul nou. Această tehnică este ferm înrădăcinată în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Un exemplu este un semnal audio și video digital. Realizarea lui a devenit posibilă doar datorită teoriei dezvoltate de un matematician francez la începutul secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier într-o formă complexă a făcut posibilă realizarea unei descoperiri în studiul spațiului cosmic. În plus, a influențat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica microundelor, oceanografie, radar, seismologie.
Seria Fourier trigonometrică
În matematică, o serie Fourier este o modalitate de a reprezenta funcții complexe arbitrare ca o sumă a celor mai simple. În cazuri generale, numărul de astfel de expresii poate fi infinit. Mai mult, cu cât numărul lor este luat în considerare în calcul, cu atât rezultatul final este mai precis. Cel mai adesea, funcțiile trigonometrice cosinus sau sinus sunt folosite ca cele mai simple. În acest caz, seriile Fourier se numesc trigonometrice, iar soluția unor astfel de expresii se numește expansiunea armonicii. Această metodă joacă un rol important în matematică. În primul rând, seria trigonometrică oferă un mijloc pentru imagine, precum și studiul funcțiilor, este principalul aparat al teoriei. În plus, permite rezolvarea unui număr de probleme de fizică matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea analizei matematice, a dat naștere la o serie de secțiuni foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, a servit ca punct de plecare pentru dezvoltarea următoarelor teorii: mulțimi, funcțiivariabilă reală, analiză funcțională și, de asemenea, a pus bazele analizei armonice.
