De multe ori în viață ne confruntăm cu nevoia de a evalua șansele ca un eveniment să se producă. Fie că merită să cumperi un bilet de loterie sau nu, care va fi sexul celui de-al treilea copil din familie, dacă mâine vremea va fi senină sau va ploua din nou - există nenumărate astfel de exemple. În cel mai simplu caz, ar trebui să împărțiți numărul de rezultate favorabile la numărul total de evenimente. Dacă la loterie sunt 10 bilete câștigătoare și sunt 50 în total, atunci șansele de a obține un premiu sunt 10/50=0,2, adică 20 față de 100. Dar dacă sunt mai multe evenimente și sunt îndeaproape. legate de? În acest caz, nu ne va mai interesa probabilitatea simplă, ci condițională. Care este această valoare și cum poate fi calculată - acest lucru va fi discutat în articolul nostru.
Concept
Probabilitatea condiționată este șansa ca un anumit eveniment să se producă, având în vedere că un alt eveniment înrudit a avut deja loc. Luați în considerare un exemplu simplu cuaruncând o monedă. Dacă nu a existat încă o egalitate, atunci șansele de a obține cap sau coadă vor fi aceleași. Dar dacă de cinci ori la rând moneda s-a așezat cu stema în sus, atunci acceptați să vă așteptați la a 6-a, a 7-a și cu atât mai mult a 10-a repetare a unui astfel de rezultat ar fi ilogic. Cu fiecare titlu repetat, șansele să apară cozile cresc și mai devreme sau mai târziu va cădea.
Formula probabilității condiționate
Să ne dăm seama acum cum se calculează această valoare. Să notăm primul eveniment ca B, iar al doilea ca A. Dacă șansele de apariție a lui B sunt diferite de zero, atunci următoarea egalitate va fi valabilă:
P (A|B)=P (AB) / P (B), unde:
- P (A|B) – probabilitatea condiționată a rezultatului A;
- P (AB) - probabilitatea apariției comune a evenimentelor A și B;
- P (B) – probabilitatea evenimentului B.
Transformând ușor acest raport, obținem P (AB)=P (A|B)P (B). Și dacă aplicăm metoda de inducție, atunci putem deriva formula produsului și o putem folosi pentru un număr arbitrar de evenimente:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Practică
Pentru a înțelege mai ușor cum este calculată probabilitatea condiționată a unui eveniment, să ne uităm la câteva exemple. Să presupunem că există o vază care conține 8 bomboane de ciocolată și 7 mentă. Au aceeași dimensiune și sunt aleatorii.două dintre ele sunt scoase succesiv. Care sunt șansele ca amândoi să fie ciocolată? Să introducem notația. Fie ca rezultatul A să însemne că prima bomboană este ciocolată, rezultatul B este a doua bomboană de ciocolată. Apoi obțineți următoarele:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Să luăm în considerare încă un caz. Să presupunem că există o familie de doi copii și știm că cel puțin un copil este fată.
Care este probabilitatea condiționată ca acești părinți să nu aibă încă băieți? Ca și în cazul precedent, începem cu notație. Fie P(B) probabilitatea ca în familie să existe cel puțin o fată, P(A|B) probabilitatea ca al doilea copil să fie și fată, P(AB) să fie șansele ca în familie să fie două fete. familia. Acum hai să facem calculele. În total, pot exista 4 combinații diferite ale sexului copiilor, iar în acest caz, doar într-un caz (când sunt doi băieți în familie), nu va fi nicio fată printre copii. Prin urmare, probabilitatea P (B)=3/4, iar P (AB)=1/4. Apoi, urmând formula noastră, obținem:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Rezultatul poate fi interpretat astfel: dacă nu am ști sexul unuia dintre copii, atunci șansele a două fete ar fi 25 față de 100. Dar, din moment ce știm că un copil este fată, probabilitatea ca familia de băieți să nu crească la o treime.
