O gamă largă de relații pe exemplul mulțimilor este însoțită de un număr mare de concepte, începând cu definițiile acestora și terminând cu o analiză analitică a paradoxurilor. Varietatea conceptului discutat în articolul de pe platou este infinită. Deși, când vorbim despre tipuri duale, aceasta înseamnă relații binare între mai multe valori. Și, de asemenea, între obiecte sau declarații.
De regulă, relațiile binare sunt notate cu simbolul R, adică dacă xRx pentru orice valoare x din câmpul R, o astfel de proprietate se numește reflexivă, în care x și x sunt obiecte acceptate de gândire, iar R servește ca semn al existenței sau al unei alte forme de relație între indivizi. În același timp, dacă exprimați xRy® sau yRx, atunci aceasta indică o stare de simetrie, unde ® este un semn de implicație similar cu uniunea „dacă … atunci … . Și, în sfârșit, decodificarea inscripția (xRy Ùy Rz) ®xRz vorbește despre relația tranzitivă, iar semnul Ù este o conjuncție.
O relație binară care este atât reflexivă, simetrică, cât și tranzitivă se numește relație de echivalență. Relația f este o funcție, iar egalitatea y=z rezultă din Î f și Î f. O funcție binară simplă poate fi aplicată cu ușurințăla două argumente simple într-o anumită ordine și numai în acest caz îi oferă un sens îndreptat către aceste două expresii luate într-un anumit caz.
Ar trebui spus că f mapează x la y,
dacă f este o funcție cu intervalul x și intervalul y. Totuși, când f extrapolează x la y și y Í z, acest lucru face ca f să arate x în z. Un exemplu simplu: dacă f(x)=2x este adevărată pentru orice număr întreg x, atunci se spune că f mapează mulțimea cu semne a tuturor numerelor întregi cunoscute la mulțimea acelorași numere întregi, dar de data aceasta numere pare. După cum am menționat mai sus, relațiile binare care sunt atât reflexive, simetrice, cât și tranzitive sunt relații de echivalență.
Pe baza celor de mai sus, relațiile de echivalență ale relațiilor binare sunt determinate de proprietăți:
- reflexivitate - raport (M ~ N);
- simetrii - dacă egalitatea este M ~ N, atunci va exista N ~ M;
- tranzitivitate - dacă două egalități M ~ N și N ~ P, atunci ca rezultat M ~ P.
Să luăm în considerare mai detaliat proprietățile declarate ale relațiilor binare. Reflexivitatea este una dintre caracteristicile anumitor conexiuni, unde fiecare element al ansamblului studiat se află într-o egalitate dată cu el însuși. De exemplu, între numerele a=c și a³ c există conexiuni reflexive, deoarece întotdeauna a=a, c=c, a³ a, c³ c. În același timp, relația inegalității a>c este antireflexivă din cauza imposibilității existenței inegalității a>a. Axioma acestei proprietăți este codificată prin semne: aRc®aRa Ù cRc, aici simbolul ® înseamnă cuvântul „implică” (sau „implica”), iar semnul Ù - este uniunea „și” (sau conjuncția). Din această afirmație rezultă că, dacă judecata aRc este adevărată, sunt adevărate și expresiile aRa și cRc.
Simetria presupune prezența unei relații chiar dacă obiectele mentale sunt interschimbate, adică cu o relație simetrică, rearanjarea obiectelor nu duce la o transformare de tip „relații binare”. De exemplu, relația de egalitate a=c este simetrică din cauza echivalenței relației c=a; propoziția a¹c este de asemenea aceeași, deoarece corespunde conexiunii cu¹a.
O mulțime tranzitivă este o proprietate care îndeplinește următoarea cerință: y н x, z н y ® z н x, unde ® este un semn care înlocuiește cuvintele: „dacă …, atunci …”. Formula se citește verbal după cum urmează: „Dacă y depinde de x, z aparține lui y, atunci z depinde și de x”.
