Planimetria este o ramură a geometriei care studiază proprietățile figurilor plane. Acestea includ nu numai binecunoscutele triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri, ci și linii drepte și unghiuri. În planimetrie, există și concepte precum unghiurile într-un cerc: central și înscris. Dar ce înseamnă ele?
Care este unghiul central?
Pentru a înțelege ce este un unghi central, trebuie să definiți un cerc. Un cerc este o colecție de toate punctele echidistante de un punct dat (centrul cercului).
Este foarte important să-l deosebești de un cerc. Trebuie amintit că un cerc este o linie închisă, iar un cerc este o parte a unui plan mărginit de acesta. Un poligon sau un unghi poate fi înscris într-un cerc.
Un unghi central este un unghi al cărui vârf coincide cu centrul cercului și ale cărui laturi intersectează cercul în două puncte. Arcul, pe care unghiul îl limitează prin puncte de intersecție, se numește arc pe care se sprijină unghiul dat.
Luați în considerare exemplul 1.
În imagine, unghiul AOB este central, deoarece vârful unghiului și centrul cercului sunt un punct O. Se sprijină pe arcul AB, care nu conține punctul C.
Cum diferă un unghi înscris de unul central?
Totuși, pe lângă cele centrale, există și unghiuri înscrise. Care este diferența lor? La fel ca și cel central, unghiul înscris într-un cerc se sprijină pe un anumit arc. Dar vârful său nu coincide cu centrul cercului, ci se află pe el.
Să luăm următorul exemplu.
Unghiul ACB se numește unghi înscris într-un cerc centrat în punctul O. Punctul C aparține cercului, adică se află pe el. Unghiul se sprijină pe arcul AB.
Care este unghiul central
Pentru a face față cu succes problemelor de geometrie, nu este suficient să poți face distincția între unghiurile înscrise și centrale. De regulă, pentru a le rezolva, trebuie să știți exact cum să găsiți unghiul central într-un cerc și să puteți calcula valoarea acestuia în grade.
Deci, unghiul central este egal cu gradul de măsurare a arcului pe care se sprijină.
În imagine, unghiul AOB se sprijină pe arcul AB egal cu 66°. Deci unghiul AOB este, de asemenea, egal cu 66°.
Astfel, unghiurile centrale bazate pe arce egale sunt egale.
În figură, arcul DC este egal cu arcul AB. Deci unghiul AOB este egal cu unghiul DOC.
Cum să găsiți un unghi înscris
Se poate părea că unghiul înscris în cerc este egal cu unghiul central,care se bazează pe același arc. Cu toate acestea, aceasta este o greșeală gravă. De fapt, chiar și doar privind desenul și comparând aceste unghiuri între ele, puteți vedea că gradele lor vor avea valori diferite. Deci, care este unghiul înscris în cerc?
Măsura gradului unui unghi înscris este o jumătate din arcul pe care se sprijină sau jumătate din unghiul central dacă se bazează pe același arc.
Să luăm în considerare un exemplu. Unghiul ACB se bazează pe un arc egal cu 66°.
Deci unghiul DIA=66°: 2=33°
Să luăm în considerare câteva consecințe ale acestei teoreme.
- Unghiurile înscrise, dacă se bazează pe același arc, coardă sau arce egale, sunt egale.
- Dacă unghiurile înscrise se bazează pe aceeași coardă, dar vârfurile lor se află pe laturile opuse ale acesteia, suma gradelor acestor unghiuri este de 180°, deoarece în acest caz ambele unghiuri sunt bazate pe arce, gradul total al cărui măsură este 360° (întregul cerc), 360°: 2=180°
- Dacă unghiul înscris se bazează pe diametrul cercului dat, gradul său este de 90°, deoarece diametrul subtinde un arc egal cu 180°, 180°: 2=90°
- Dacă unghiurile central și înscris într-un cerc se bazează pe același arc sau coardă, atunci unghiul înscris este egal cu jumătate din cel central.
Unde pot fi găsite problemele pe acest subiect? Tipurile și soluțiile lor
Deoarece cercul și proprietățile sale sunt una dintre cele mai importante secțiuni ale geometriei, în special planimetria, unghiurile înscrise și centrale în cerc sunt un subiect care este pe larg și în detaliustudiat în programa școlară. Sarcinile dedicate proprietăților lor se găsesc în examenul de stat principal (OGE) și examenul de stat unificat (USE). De regulă, pentru a rezolva aceste probleme, ar trebui să găsiți unghiurile de pe cerc în grade.
Unghiuri bazate pe același arc
Acest tip de problemă este poate una dintre cele mai ușoare, deoarece pentru a o rezolva trebuie să cunoașteți doar două proprietăți simple: dacă ambele unghiuri sunt înscrise și se sprijină pe aceeași coardă, ele sunt egale, dacă unul dintre ele este central, atunci unghiul înscris corespunzător este egal cu jumătate din acesta. Cu toate acestea, atunci când le rezolvi, trebuie să fii extrem de atent: uneori este dificil să observi această proprietate, iar studenții, atunci când rezolvă probleme atât de simple, ajung într-o fundătură. Luați în considerare un exemplu.
Problemă 1
Dând un cerc centrat în punctul O. Unghiul AOB este de 54°. Găsiți măsura în grade a unghiului DIA.
Această sarcină este rezolvată într-un singur pas. Singurul lucru de care aveți nevoie pentru a găsi rapid răspunsul este să observați că arcul pe care se sprijină ambele colțuri este unul comun. Văzând acest lucru, puteți aplica proprietatea deja familiară. Unghiul ACB este jumătate din unghiul AOB. Deci
1) AOB=54°: 2=27°.
Răspuns: 54°.
Unghiuri bazate pe diferite arce ale aceluiași cerc
Uneori dimensiunea arcului pe care se sprijină unghiul necesar nu este specificată direct în condițiile problemei. Pentru a o calcula, trebuie să analizați mărimea acestor unghiuri și să le comparați cu proprietățile cunoscute ale cercului.
Problema 2
Într-un cerc centrat pe O, unghiul AOCeste de 120°, iar unghiul AOB este de 30°. Găsiți colțul TU.
Pentru început, merită să spunem că această problemă este posibilă folosind proprietățile triunghiurilor isoscele, dar acest lucru va necesita mai multe operații matematice. Prin urmare, aici vom analiza soluția folosind proprietățile unghiurilor centrale și înscrise într-un cerc.
Deci, unghiul AOC se sprijină pe arcul AC și este central, ceea ce înseamnă că arcul AC este egal cu unghiul AOC.
AC=120°
În același mod, unghiul AOB se sprijină pe arcul AB.
AB=30°.
Cunoscând acest lucru și măsura gradului întregului cerc (360°), puteți găsi cu ușurință magnitudinea arcului BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vârful unghiului CAB, punctul A, se află pe cerc. Prin urmare, unghiul CAB este înscris și egal cu jumătate din arcul CB.
Unghi CAB=210°: 2=110°
Răspuns: 110°
Probleme bazate pe raporturile arcului
Unele probleme nu conțin deloc date despre unghiuri, așa că trebuie căutate numai pe baza teoremelor și proprietăților cunoscute ale unui cerc.
Problemă 1
Găsiți unghiul înscris într-un cerc care este susținut de o coardă egală cu raza cercului dat.
Dacă desenați mental linii care leagă capetele segmentului de centrul cercului, obțineți un triunghi. După ce l-ați examinat, puteți vedea că aceste linii sunt razele cercului, ceea ce înseamnă că toate laturile triunghiului sunt egale. Știm că toate unghiurile unui triunghi echilateralsunt egale cu 60°. Prin urmare, arcul AB care conține vârful triunghiului este egal cu 60°. De aici găsim arcul AB, pe care se bazează unghiul dorit.
AB=360° - 60°=300°
Unghi ABC=300°: 2=150°
Răspuns: 150°
Problema 2
Într-un cerc centrat în punctul O, arcurile sunt legate ca 3:7. Găsiți unghiul înscris mai mic.
Pentru soluție, notăm o parte ca X, apoi un arc este egal cu 3X, iar al doilea, respectiv, 7X. Știind că măsura gradului unui cerc este de 360°, putem scrie o ecuație.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
În funcție de condiție, trebuie să găsiți un unghi mai mic. Evident, dacă valoarea unghiului este direct proporțională cu arcul pe care se sprijină, atunci unghiul necesar (mai mic) corespunde unui arc egal cu 3X.
Deci unghiul mai mic este (36°3): 2=108°: 2=54°
Răspuns: 54°
Problema 3
Într-un cerc centrat în punctul O, unghiul AOB este de 60°, iar lungimea arcului mai mic este de 50. Calculați lungimea arcului mai mare.
Pentru a calcula lungimea unui arc mai mare, trebuie să faceți o proporție - cum se raportează arcul mai mic cu cel mai mare. Pentru a face acest lucru, calculăm mărimea ambelor arce în grade. Arcul mai mic este egal cu unghiul care se sprijină pe el. Gradul său este de 60°. Arcul mai mare este egal cu diferența dintre măsura gradului cercului (este egal cu 360° indiferent de alte date) și arcul mai mic.
Arcul mare este de 360° - 60°=300°.
Deoarece 300°: 60°=5, arcul mai mare este de 5 ori mai mic.
Arc mare=505=250
Răspuns: 250
Deci, desigur, mai sunt și alteleabordări pentru rezolvarea unor probleme similare, dar toate se bazează cumva pe proprietățile unghiurilor centrale și înscrise, triunghiurilor și cercurilor. Pentru a le rezolva cu succes, trebuie să studiați cu atenție desenul și să-l comparați cu datele problemei, precum și să puteți aplica cunoștințele dvs. teoretice în practică.
