Este imposibil să pretinzi că știi matematică dacă nu știi să trasezi grafice, să desenezi inegalități pe o dreaptă de coordonate și să lucrezi cu axe de coordonate. Componenta vizuală în știință este vitală, deoarece fără exemple vizuale în formule și calcule, uneori poți deveni foarte confuz. În acest articol, vom vedea cum să lucrăm cu axele de coordonate și cum să învățăm cum să construim grafice de funcții simple.
Aplicație
Linia de coordonate stă la baza celor mai simple tipuri de grafice pe care le întâlnește un elev pe parcursul său educațional. Este folosit în aproape toate subiectele matematice: atunci când se calculează viteza și timpul, se proiectează dimensiunea obiectelor și se calculează aria lor, în trigonometrie când se lucrează cu sinusuri și cosinus.
Valoarea principală a unei astfel de linii directe este vizibilitatea. Deoarece matematica este o știință care necesită un nivel ridicat de gândire abstractă, graficele ajută la reprezentarea unui obiect în lumea reală. Cum se comporta? În ce punct din spațiu vacâteva secunde, minute, ore? Ce se poate spune despre el în comparație cu alte obiecte? Care este viteza sa la un moment ales aleatoriu? Cum să-i caracterizezi mișcarea?
Și vorbim despre viteză dintr-un motiv - este adesea afișată prin grafice cu funcții. Și pot afișa, de asemenea, schimbările de temperatură sau presiune din interiorul obiectului, dimensiunea acestuia, orientarea față de orizont. Astfel, construirea unei linii de coordonate este adesea necesară și în fizică.
Grafic unidimensional
Există un concept de multidimensionalitate. În spațiul unidimensional, un singur număr este suficient pentru a determina locația unui punct. Acesta este exact cazul utilizării liniei de coordonate. Dacă spațiul este bidimensional, atunci sunt necesare două numere. Diagramele de acest tip sunt folosite mult mai des și cu siguranță le vom lua în considerare puțin mai târziu în articol.
Ce se vede cu ajutorul punctelor de pe axă, dacă există o singură axă? Puteți vedea dimensiunea obiectului, poziția sa în spațiu față de un „zero”, adică punctul ales ca punct de referință.
Modificarea parametrilor în timp nu va fi vizibilă, deoarece toate citirile vor fi afișate pentru un anumit moment. Totuși, trebuie să începi de undeva! Deci, să începem.
Cum se construiește o axă de coordonate
În primul rând, trebuie să desenați o linie orizontală - aceasta va fi axa noastră. În partea dreaptă, „ascuțiți” astfel încât să arate ca o săgeată. Astfel, vom indica direcția în care vor fi numerelecrește. În direcția în jos, săgeata nu este de obicei plasată. În mod tradițional, axa este îndreptată spre dreapta, așa că vom urma doar această regulă.
Să setăm un marcaj zero, care va afișa originea coordonatelor. Acesta este chiar locul din care este luată numărătoarea inversă, fie că este vorba de dimensiune, greutate, viteză sau orice altceva. Pe lângă zero, trebuie să desemnăm în mod necesar așa-numitul preț de divizare, adică să introducem un standard unitar, în conformitate cu care vom reprezenta anumite cantități pe axă. Acest lucru trebuie făcut pentru a putea găsi lungimea segmentului pe linia de coordonate.
La o distanță egală unul de celăl alt, puneți puncte sau „crestături” pe linie, iar sub ele scrieți 1, 2, 3 și așa mai departe. Și acum, totul este gata. Dar, odată cu programul rezultat, mai trebuie să înveți cum să lucrezi.
Tipuri de puncte pe linia de coordonate
De la prima vedere asupra desenelor propuse în manuale, devine clar: punctele de pe axă pot fi umplute sau nu. Crezi că este o coincidență? Deloc! Un punct „solid” este folosit pentru o inegalitate nestrictă – una care se citește ca „mai mare decât sau egală cu”. Dacă trebuie să limităm strict intervalul (de exemplu, „x” poate lua valori de la zero la unu, dar nu îl include), vom folosi un punct „gol”, adică, de fapt, un cerc mic pe axa. Trebuie remarcat faptul că studenților nu prea le plac inegalitățile stricte, deoarece sunt mai greu de lucrat cu acestea.
În funcție de punctele dvsutilizați pe diagramă, vor fi numite și intervalele construite. Dacă inegalitatea de pe ambele părți nu este strictă, atunci obținem un segment. Dacă, pe de o parte, se dovedește a fi „deschis”, atunci se va numi jumătate de interval. În cele din urmă, dacă o parte a unei linii este delimitată de ambele părți de puncte goale, se va numi interval.
Avion
Când construim două drepte pe planul de coordonate, putem considera deja graficele funcțiilor. Să presupunem că linia orizontală este axa timpului, iar linia verticală este distanța. Și acum putem stabili ce distanță va depăși obiectul într-un minut sau o oră de călătorie. Astfel, lucrul cu un avion face posibilă monitorizarea schimbării stării unui obiect. Acest lucru este mult mai interesant decât explorarea unei stări statice.
Cel mai simplu grafic de pe un astfel de plan este o linie dreaptă, reflectând funcția Y(X)=aX + b. Linia se îndoaie? Aceasta înseamnă că obiectul își schimbă caracteristicile în timpul studiului.
Imaginați-vă că stați pe acoperișul unei clădiri ținând o piatră în mâna întinsă. Când îl eliberați, acesta va zbura în jos, pornind de la viteza zero. Dar într-o secundă va depăși 36 de kilometri pe oră. Piatra va continua să accelereze și mai mult și, pentru a-și desena mișcarea pe diagramă, va trebui să-i măsurați viteza în mai multe momente, setând puncte pe axă în locurile corespunzătoare.
Marcurile de pe linia de coordonate orizontale sunt denumite implicit X1, X2, X3, iar pe verticală - Y1, Y2, Y3, respectiv. proiectandle în plan și găsind intersecții, găsim fragmente din modelul rezultat. Conectându-le cu o singură linie, obținem un grafic al funcției. În cazul unei pietre în cădere, funcția pătratică va arăta astfel: Y(X)=aXX + bX + c.
Scale
Desigur, nu este necesar să puneți valori întregi lângă împărțirile după o linie dreaptă. Dacă luați în considerare mișcarea unui melc care se târăște cu o viteză de 0,03 metri pe minut, setați ca valori pe fracția de coordonate. În acest caz, setați intervalul de scară la 0,01 metri.
Este deosebit de convenabil să efectuați astfel de desene într-un caiet într-o cușcă - aici puteți vedea imediat dacă există suficient spațiu pe foaie pentru diagramă, dacă depășiți marginile. Nu este dificil să-ți calculezi puterea, deoarece lățimea celulei într-un astfel de notebook este de 0,5 centimetri. A luat - a redus imaginea. Modificările de scară ale diagramei nu vor duce la pierderea sau modificarea proprietăților acesteia.
Coordonate punct și segment
Când o problemă de matematică este dată într-o lecție, aceasta poate conține parametrii diferitelor forme geometrice, atât sub formă de lungimi laturilor, perimetru, suprafață, cât și sub formă de coordonate. În acest caz, poate fi necesar să construiți o formă și să obțineți câteva date asociate cu aceasta. Apare întrebarea: cum să găsiți informațiile necesare pe linia de coordonate? Și cum să construiți o formă?
De exemplu, vorbim despre un punct. Apoi va apărea o literă mare în starea problemei, iar între paranteze vor apărea mai multe numere, cel mai adesea două (asta înseamnă că vom număra în spațiu bidimensional). Dacă există trei numere între paranteze, separate prin punct și virgulă sau virgulă, atunci acesta este un spațiu tridimensional. Fiecare dintre valori este o coordonată pe axa corespunzătoare: mai întâi de-a lungul orizontalei (X), apoi de-a lungul verticalei (Y).
Îți amintești cum să desenezi un segment? L-ai transmis la geometrie. Dacă există două puncte, atunci se poate trasa o linie între ele. Coordonatele lor sunt indicate între paranteze dacă în problemă apare un segment. De exemplu: A(15, 13) - B(1, 4). Pentru a construi o astfel de linie, trebuie să găsiți și să marcați puncte pe planul de coordonate, apoi să le conectați. Asta este!
Și orice poligoane, după cum știți, pot fi desenate folosind segmente. Problemă rezolvată.
Calcule
Să presupunem că există un obiect a cărui poziție de-a lungul axei X este caracterizată de două numere: începe în punctul cu coordonata (-3) și se termină la (+2). Dacă vrem să știm lungimea acestui obiect, atunci trebuie să scădem numărul mai mic din numărul mai mare. Rețineți că un număr negativ absoarbe semnul scăderii, deoarece „un minus ori un minus este egal cu un plus”. Deci adăugăm (2+3) și obținem 5. Acesta este rezultatul necesar.
Un alt exemplu: ni se oferă punctul final și lungimea obiectului, dar nu punctul de început (și trebuie să-l găsim). Fie poziția punctului cunoscut (6), iar dimensiunea obiectului studiat (4). Scăzând lungimea din coordonata finală, obținem răspunsul. Total: (6 - 4)=2.
Numere negative
În practică este adesea necesar să se lucreze cu valori negative. În acest caz vom facedeplasați-vă la stânga de-a lungul axei de coordonate. De exemplu, un obiect în alt de 3 centimetri plutește în apă. O treime din ea este scufundată în lichid, două treimi este în aer. Apoi, alegând suprafața apei ca axă, obținem două numere folosind cele mai simple calcule aritmetice: punctul de sus al obiectului are coordonatele (+2), iar cel de jos - (-1) centimetru.
Este ușor de observat că, în cazul unui avion, avem patru sferturi de linie de coordonate. Fiecare dintre ele are propriul său număr. În prima parte (dreapta sus) vor fi puncte cu două coordonate pozitive, în a doua - în stânga sus - valorile axei X vor fi negative, iar de-a lungul axei Y - pozitive. Al treilea și al patrulea sunt numărate mai departe în sens invers acelor de ceasornic.
Proprietate importantă
Știi că o linie poate fi reprezentată ca un număr infinit de puncte. Putem vizualiza cu atâta atenție cât ne place orice număr de valori în fiecare direcție a axei, dar nu le vom întâlni pe cele care se repetă. Pare naiv și de înțeles, dar acea afirmație provine dintr-un fapt important: fiecărui număr îi corespunde unul și doar un punct pe linia de coordonate.
Concluzie
Nu uitați că toate axele, figurile și, dacă este posibil, graficele trebuie construite pe o riglă. Unitățile de măsură nu au fost inventate de om întâmplător - dacă faci o eroare când desenezi, riști să vezi o altă imagine decât ar fi trebuit să fie.
Fii atent și precis în reprezentare și calcule. Ca orice știință studiată la școală, matematica iubește acuratețea. Depuneți puțin efort și bineevaluările nu vor întârzia să apară.
